Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 12 )

Конкретизація виразів (1)-(4) породжує різні типи задач оптимального управління. Типи задач розбиваються на три групи в залежності від того, яка з умов (1)-(4) береться в якості визначальної характеристики: або вигляд функціоналу (1), або обмеження вздовж траєкторії (3), або обмеження на крайові умови (4).

В залежності від того, який розглядається функціонал розрізняють задачі Лагранжа, задачу Больца та задачу Майєра.

Задача Лагранжа ставиться так. Знайти , де — це неперервна і диференційовна функція своїх змінних при обмеженнях , , .

В задачі Майєра розглядається функціонал, а в задачі Больца .

Обмеження (3) конкретизуються наступним чином. Оскільки можливості управління зажди обмежені, то найбільш частими є обмеження типу , де — відома неперервна вектор-функція. Окрім цього розглядають обмеження на фазові змінні. Причому розрізняють обмеження типу рівностей , та типу нерівностей , .

Можуть розглядатися спільні обмеження на управління та фазові змінні

,

або

, ,

та задачі з інтегральними обмеженнями типу , , де — неперервні функції, — задані константи.

Стосовно умов (4), то розглядаються задачі із закріпленими кінцями, коли значення та задані, та задачі з вільним кінцем, коли значення (або ) не задане.

Задачі оптимального управління розв’язуються за допомогою принципу максимума Понтрягіна. Нехай диференціальні зв’язки задаються рівнянням

, (5)

де — вектор-стовпчик фазових координат, а — це вектор-стовпчик рулів управління. Нехай вектор управління додатково підкорений умові

. (6)

Академік ін запропонував розглядати таку функцію

, , (7)

яка одержала назву функції Понтрягіна. Тут — вектор бажаного руху, а — вектор руху в кінцевий момент часу. Тоді мінімум функції (близькість до нуля) означає наближену ортогональність векторів та — істинний рух системи максимально близько наближається до бажаного. Кінцева точка оптимальної траєкторії може бути вільною або закріпленою. Аналогічно, вектор може бути жорстко орієнтованим в просторі або змінним.

Вимога одночасного задоволення початкових та граничних умов ускладнює задачу оптимального управління. Наприклад, якщо при постановці задачі потрібно знайти екстремум ( або ) інтеграла від квадрата однієї із змінних, то вводячи нову змінну , одержують додаткове нелінійне рівняння , .

ін припустив існування зв’язку оптимального управління з максимумом енергії і сформулював цей факт як спеціальний принцип — принцип максимуму. Цей принцип твердить: якщо вектор — оптимальний, тобто забезпечує мінімум функції Понтрягіна , то енергетична функція Гамільтона набуває максимуму по відношенню до в інтервалі управління.

Функція Гамільтона вводиться так

, (8)

де — вектор кількості руху, а — вектор правої частини рівняння (5). Вектор визначається, як розв’язок диференціального рівняння

, , (9)

де , — відомі константи, які входять в функцію Понтрягіна. Диференціюючи рівняння (8) по , знаходимо

. (10)

З іншого боку, диференціювання того ж рівняння (8) по дає

. (11)

Порівнюючи (11) і (9), одержуємо

Системою канонічних рівнянь Гамільтона називається система рівнянь

(12)

Система (12) підкорена початковим та граничним умовам

. (13)

Треба показати, що максимум співпадає з мінімумом . Розглянемо приріст функції Понтрягіна і, приймаючи до уваги, що , будемо мати

,

тут . Враховуючи, що рівняння (5) можна представити в еквівалентній формі, будемо мати

Тут та — оптимальні значення та , . Розглянемо частинний випадок функцій , коли . Така ситуація є характерною для лінійних автоматичних систем. В цьому випадку в розкладі (14) третя і четверта компоненти зникнуть і будемо мати . Звідси бачимо, що мінімум () досягається при виконанні нерівності .