Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 4 )

§3. Кратні інтеграли. Рівняння Остроградського.

Розглянемо задачу

, (1)

(2)

Шукається функція , яка неперервна разом зі своїми похідними до другого порядку включно в області В з границею Г. Складемо близьку функцію , де — довільна функція така, що . Підставляючи її в (1), диференціюючи по і покладаючи , одержимо такий вираз першої варіації функціоналу . Скористаємося формулою Рімана: . Таким чином:

. Отже, будемо мати такий вираз першої варіації , .

Застосувавши лему 2, одержуємо рівняння Остроградського

або в розгорнутому вигляді

.

Отже, знаходження екстремалі функціоналу (1) при умові (2) є еквівалентним знаходженню розв’язку такої задачі

(3)

Приклад. Знайти екстремаль функціоналу

.

Розв’язання. Тут . Звідси . Отже, функція , яка є екстремаллю функціоналу, буде розв’язком задачі

У випадку кратного інтегралу, який залежить від кількох функцій, ми будемо мати систему рівнянь Остроградського. У випадку потрійного інтегралу і функції , одержимо таке рівняння Остроградського:

.

Якщо під знак інтегралу входять похідні функції до -го порядку, то рівняння Остроградського приймає вигляд

.

§4. Ізопериметрична задача.

Ізопериметрична задача ставиться так: серед всіх кривих , для яких

, (1)

де — задане число, знайти криву, при якій

. (2)

Поставлена задача зводиться до звичайної задачі варіаційного числення за допомогою такої теореми.

Теорема Ейлера. Якщо крива надає екстремум інтегралу (2) при умові (1) та при звичайних граничних умовах , і якщо не є екстремаллю інтеграла (1), то існує така константа , що крива є екстремаль функціоналу , де .

Доведення. Введемо в розгляд функцію , яка є близькою до . Тут і — малі параметри, і — неперервно диференційовані функції такі, що . Підставивши цю функцію в інтеграл (1), будемо мати

.

Проробивши звичайні обчислення, маємо: .

Оскільки не є екстремаллю інтеграла (1), то на , а значить можна підібрати так, щоб . З іншого боку, за теоремою про неявні функції, рівняння визначає як функцію від досить близьких до нуля, і

. (3)

Підставимо функцію в інтеграл (2), продифе-ренціювавши по , і маючи на увазі, що є функція від , одержимо:

.

Скориставшись виразом (3), для константи будемо мати

,

де

або .

Раз має екстремум інтеграла (2) при умові (1), то має виконуватись рівність , звідки використовуючи лему 1, і покладаючи , одержимо, що , а це рівняння Ейлера для інтеграла . Загальний інтеграл цього рівняння буде містити три довільні змінні, а саме: дві константи інтегрування та сталу . Ці константи повинні визначатися з граничних умов та умови (1).

У більш загальному випадку ізопериметрична задача має такий вид: знайти функції , , які надають інтегралу

при наявності зв’язків

та граничних умов .

При наявності деякої додаткової умови, яка забезпечує, як і вище, застосування теореми про наявні функції, можна твердити, що функції , які дають розв’язок поставленої задачі мають бути екстремалями для інтеграла , де . Тут — константи. Число зв’язків може перевищувати число шуканих функцій .