Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 5 )

§5. Умовний екстремум.

Потрібно знайти дві функції і такі, що

(1)

(2)

, (3)

причому координати та мають задовольняти рівняння (2).

Геометричний зміст задачі полягає в знаходженні ліній, які лежать на поверхні (2), і які надають екстремум інтегралу (1). Будемо припускати, що . Тоді рівняння (2) можна розв’язати відносно , тобто одержимо . Після підстановки цього виразу в (1), інтеграл прийме вигляд

. (4)

Позначимо через [F] підінтегральну функцію в (4). Вона залежить тільки від . Будемо мати: ; ;

. Тому рівняння Ейлера для інтеграла (4) в силу написаних вище формул прийме вигляд . З іншого боку, диференціювання (2) по у дає . Виключаючи з двох останніх рівнянь , приходимо до рівності . Вздовж екстремалі обидві частини написаної рівності являють собою одну і ту ж функцію, яку позначимо через . Тому можемо записати ; . Необхідні умови екстремуму ще можна записати в такій формі: , де .

Викладені міркування можуть бути перенесені на задачі більш загального вигляду. Наприклад, знайти

при наявності зв’язків

, (*)

та граничних умов

, , .

Відповідні рівняння Ейлера будуть такі:

, де .

Зв’язки (*), які не містять похідних від шуканих функцій, називаються голономними зв’язками. Зв’язки виду називаються неголономними. Наведені вище твердження мають місце і для неголономних зв’язків.

§6. Природні граничні умови.

Розглянемо задачу , (1)

, (2)

тобто лівий кінець шуканої кривої закріплений, а на правий кінець ніякої умови не накладено. Вияснимо, якою має бути умова на правому кінці. Запишемо першу варіацію функціоналу (1): , (). Якщо — екстремаль функціоналу (1), то . Член, який містить інтеграл дорівнює нулю, оскільки , а позаінтегральний член рівний нулю в силу вибору функції . Таким чином, приходимо до рівності або, в силу довільності функції , остаточно одержуємо

. (3)

Умова (3) називається природною граничною умовою. Повторюючи аналогічні міркування для випадку інтегралу , одержимо на вільному кінці природних граничних умов =0, .

Розглянемо інтеграл, що містить похідні другого порядку Оскільки , а також , ,

то на вільному правому кінці природні граничні умови приймуть вигляд , . Для подвійного інтеграла природні граничні умови будуть мати вигляд: , де — довжина дуги границі Г області В.

§7. Загальна форма першої варіації.

Раніше ми припускали, що проміжок або область інтегрування не змінюються. Тепер не робиться такого припущення. Раніше ми вважали, що близькі криві відрізняються від основної кривої доданком . Тепер вважаємо, що близькі криві . Отже, розглянемо інтеграл

(1)

і введемо в нього близьку криву, вважаючи, що межі інтегрування залежать від :

, (2)

причому , , . У відповідності із загальним означенням варіації, як добутку похідної по при на , можна записати

, , ,

.

Вважаємо, що функція має неперервні похідні до другого порядку. Беручи від інтеграла (2) похідну по , покладаючи в ній та помноживши на , одержуємо такий вираз першої варіації інтегралу