Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 8 )

.

Оскільки , то . Тобто .

Необхідною умовою мінімуму функціоналу (1) є виконання нерівності . Можна довести, що ця нерівність еквівалентна нерівності . Аналогічним чином, для того, щоб екстремаль надавала максимум інтегралу (1) необхідне виконання нерівності . Ці умови називаються умовами Лежандра. У випадку строгих нерівностей кажуть про підсилені умови Лежандра.

Приклад 1. Знайти ,

, .

Розв’язання. Тут . Отже, , а . Знайдемо

.

Отже,

.

Таким чином, екстремаль реалізує мінімум функціоналу. Знайдемо конкретний вигляд . Рівняння Ейлера приймає вигляд , звідки .

Таким чином, шукана екстремаль задовольняє рівнянню, а, отже, , де і — невідомі константи. Із крайових умов одержуємо систему рівнянь

Застосувавши правило Крамера, знаходимо:

; .

Отже, екстремаль, яка надає мінімум шуканому функціоналу приймає наступний вигляд:

.

Приклад 2. Знайти ,

, .

Розв’язання. Тут . Отже, , а . Значить рівняння Ейлера має перший інтеграл , тобто , звідки або . Оскільки , то екстремаль реалізовує мінімум шуканого функціоналу.

§10. Принцип Остроградського-Гамільтона.

Варіаційне числення грає основну роль при виведенні рівнянь механіки та математичної фізики. Такі рівняння одержуються за допомогою деякого варіаційного принципу з допомогою інтеграла енергії.

Нехай є система матеріальних точок, маси яких ми позначимо через , а відповідні координати — . Нехай рух цієї системи підкорено зв’язкам , і проходить під дією сил, які мають силову функцію ; ; , причому та — це задані функції координат точок і часу. Кінетична енергія системи виразиться формулою . Припустимо, що з деякого положення І, яке відповідає моменту часу , розглядувана система перемістилася до моменту часу в інше положення ІІ. Із усіх можливих способів, якими може відбутися переміщення системи з І в ІІ, вибираємо клас допустимих рухів системи, а саме тих рухів, які сумісні із заданими зв’язками і за заданий проміжок часу переводить систему з положення І в положення ІІ.

Принцип Остроградського-Гамільтона твердить: дійсний рух системи виділяється із усіх допустимих рухів тим, що він задовольняє необхідній умові екстремуму інтеграла . Таким чином, маємо варіаційну задачу з голономними зв’язками та закріпленими границями. Для її розв’язання складемо за правилом множників Лагранжа допоміжну функцію , для якої ; , і аналогічно для координат і . Отже, рівняння Ейлера будуть мати вигляд

тобто вони співпадають з диференціальними рівняннями дійсного руху системи, що й треба було довести.

§11. Абсолютний екстремум.

До цього часу ми розглядали задачі на відносний екстремум. Задачу на абсолютний екстремум розглянемо на конкретному прикладі.

Знайти , (1)

; . (2)

Тут , , , — неперервні на функції, причому , . Рівняння Ейлера для цього функціонала має вигляд

. (3)

Нехай — це розв’язок задачі (3)-(2), тобто — є екстремаллю функціонала (1). Оскільки в даному випадку розв’язується задача на абсолютний екстремум, потрібно довести, що виконується нерівність , причому знак рівності має місце тільки в тому випадку, коли . Будь-яку функцію з класу можна представити у вигляді , де — неперервна функція разом з похідною на і . Складемо різницю