Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 7 )

Якщо вважати та функціями деякого параметра , тобто , , то функціонал перепишеться у вигляді

, (2)

де та — похідні по , а , — значення параметра, які відповідають кінцям кривої. Замість (2) розглянемо більш загальний функціонал

. (3)

У випадку, коли функція — однорідна по та , тобто, коли виконується рівність , інтеграл (3) не змінює свого вигляду при будь-якій заміні параметру . Рівняння Ейлера в такому випадку приймуть вигляд ; . Можна довести, що ці два рівняння зводяться до одного. У випадку інтеграла , де , а — похідні, рівняння Ейлера приймуть вигляд

(4)

або в розгорнутому вигляді

, .

Можна також довести, що в системі (4) одне з рівнянь Ейлера є наслідком інших.

Задача на односторонній екстремум ставиться так. Знайти

, (5)

, ,

при додатковій умові:

,

де — задана функція, яка має неперервну похідну. Іншими словами, шукана крива повинна знаходитися над кривою і окрім того проходити через точки та . Шукана крива може складатися як з проміжків, які знаходяться над кривою, так із проміжків самої кривої.

0

На рисунку два проміжки та знаходяться над кривою , а — це проміжок самої кривої. Для проміжків та можлива двостороння варіація і, як завжди, ці проміжки мають бути екстремалями інтегралу (5). На проміжку можлива лише одностороння варіація, при якій . Тобто вздовж має виконуватись нерівність . Окрім цього, для існування екстремуму має ще виконуватися і деяка умова в точках і . Як правило, вимагають, щоб в точках і лінії та мали спільну дотичну з лінією .

§9. Друга варіація.

Рівність нулю першої варіації функціоналу , тобто , дає лише необхідну умову того, що дана лінія або поверхня, надає екстремум відповідному функціоналу. Більш важливим є встановлення достатніх умов. Розглянемо задачу

, (1)

, .

Розглянемо близьку функцію , після підстановки якої в (1), одержуємо функцію в ряд Маклорена в околі точки 0:

Визначимо другу варіацію функціонала (1), як той член в розкладі по степеням , який містить , тобто

.

Безпосереднє диференціювання функції приводить до формули .

Позначивши , , , будемо мати