Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 9 )

Проінтегрувавши по частинам, одержимо:

.

В силу рівняння (3), перший інтеграл обертається в нуль, а в силу вибору функції , обертається в нуль позаінтегральний член. Таким чином,

.

Оскільки за припущенням , , то одержимо нерівність або , що і треба було довести. Аналогічним чином розв’язується задача на абсолютний екстремум інших функціоналів.

§12. Варіаційний метод Рітца.

Диференціальні рівняння варіаційного числення розв’язуються у скінченому вигляді надзвичайно рідко. Тому виникає необхідність застосувати наближені методи, одним з найпоширеніших серед яких є метод Рітца.

В гільбертовому просторі розглянемо деякий оператор .

Оператор називається додатним, якщо для всякої функції з його області визначення виконується нерівність , де ( . , . ) — скалярний добуток в .

Оператор називається додатно-визначеним, якщо для всякої функції з його області визначення, виконується нерівність , де , .

Метод Рітца базується на таких двох теоремах.

Теорема 1. Нехай — додатний оператор. Тоді, якщо операторне рівняння має в розв’язок, то цей розв’язок надає мінімального значення функціоналу , і навпаки: якщо деякий елемент гільбертового простору реалізує мінімум функціоналу , то тоді він є розв’язком рівняння .

Нехай . Будь-яку послідовність елементів , для якої виконується співвідношення будемо називати мінімізуючою послідовністю.

Теорема 2. Якщо оператор — додатно-визначений, то всяка мінімізуюча послідовність збігається в метриці до елемента, який реалізує мінімум функціоналу .

На практиці побудова мінімізуючої послідовності здійснюється так. Вибирається повна в просторі система лінійно-незалежних функцій , які називаються координатними функціями. Розв’язок рівняння шукається у вигляді , де — невідомі коефіцієнти, які потрібно визначити. При . Підставивши функцію в рівняння , домноживши на координатні функції , та проінтегрувавши, одержуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

, . (1)

Можна довести, що її детермінант

.

Тобто з системи (1) невідомі коефіцієнти визначаються однозначно.

п.12.1. Метод Рітца розв’язання крайової задачі для звичайного диференціального рівняння другого порядку.

Нехай потрібно знайти функцію , яка є розв’язком задачі

, (1)

. (2)

Випишемо для функціоналу відповідне рівняння Ейлера:

 

 

Рівняння Ейлера в нашому випадку прийме вигляд

,

звідки

.

Отже, задачі (1)-(2) є еквівалентна така задача

,

, ,

яку потрібно розв’язати методом Рітца.

Координатні функції підбираємо так, щоб виконувалися крайові умови. Тоді Далі , а, отже, . В нашому випадку . Зафіксуємо . Тоді система (1) — це єдине рівняння. Враховуючи, що , це рівняння приймає вигляд

.

Обчисливши інтеграли, одержуємо, що , звідки . Таким чином, .

Зафіксуємо . Тоді , . Як і в попередньому випадку, , . Система рівнянь (1) прийме вигляд