Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 2 )

Розглянемо задачу (1) – (2):

(1)

. (2)

Візьмемо будь-яку функцію , таку, що , і поряд з утворимо нову функцію , де — малий числовий параметр. Підставивши її в (1), одержимо

. (3)

Вираз (3) – це вже функція , яка досягає екстремуму при . Виконуючи диференціювання по параметру , будемо мати:

Отже, Інтегруючи по частинам, одержимо . (4)

Оскільки , то позаінтегральний член у виразі (4) перетворюється в нуль, і застосовуючи лему 1, одержуємо рівність

. (5)

Рівняння (5) називають рівнянням Ейлера. Вираз — це повна похідна по , а тому, скориставшись формулою , одержуємо рівняння Ейлера у розгорнутому вигляді

. ()

Таким чином, знаходження функції , яка є розв’язком екстремальної задачі

,

еквівалентне знаходженню розв’язку крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку (рівняння Ейлера):

Функція , яка буде розв’язком цієї задачі, називається екстремаллю функціоналу (1).

Приклад. Виписати рівняння Ейлера для екстремальної задачі

,

.

Розв’язання. В нашому випадку . Отже, , , , , . Таким чином, рівняння Ейлера прийме вигляд . Тоді функція є розв’язком такої крайової задачі

Добуток , який є диференціалом функції при , називається першою варіацією функціонала і позначається . Приймаючи до уваги вираз (4), одержуємо формулу першої варіації функціонала (1):

, .

п.2.2. Рівняння Ейлера у випадку кількох функцій.

Розглянемо випадок двох функцій

, (5)

. (6)

Будуємо дві функції та , які залежать від малих параметрів і та близькі відповідно до функцій та . Припускаючи, що та підставляючи в (5) побудовані близькі функції, одержуємо функцію :

.

Для того, щоб та надавали екстремум функціоналу (5) необхідно, щоб частинні похідні від по і обертались в нуль при . Проводячи обчислення, анологічні попереднім, одержуємо такі вирази:

(7)

Оскільки, в силу вибору функцій і , позаінтегральні члени обертаються в нуль, то на основі леми 1 переконуємося, що для того, щоб функції та надавали екстремум функціоналу (5), необхідно, щоб вони були розв’язками системи рівнянь Ейлера

(8)

та задовольняли крайовим умовам (6).

Приклад. Записати систему рівнянь Ейлера для такої задачі

,

.

Розв’язання. У цьому випадку , а, отже, , , , , , , , , , . В результаті одержуємо таку систему рівнянь

Таким чином, функції та , які надають екстремум шуканому функціоналу, є розв’язками такої системи рівнянь:

Як і в попередньому випадку, перша варіація функціоналу (5) запишеться так: