Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 1 )

Розділ 1. Варіаційне числення

§1. Основні означення та леми.

Вирішальну роль на розвиток варіаційного числення виявили три основні задачі:

а) Задача про брахістохрону.

Серед всіх ліній, які з’єднують дві точки М1 і М2, знайти ту, по якій матеріальна точка, рухаючись під впливом сили тяжіння з М1 без початкової швидкості, досягає М2 за найкоротший час. Припускається, що точки М1 і М2 не лежать на одній вертикалі, і точка М2 розміщена нижче, ніж М1. Крива М1М2, яка є розв’язком цієї задачі, називається брахістохроною.

б) Задача про геодезичні лінії.

Серед усіх ліній, що з’єднують точки М1 і М2, і які лежать на заданій поверхні, знайти лінію найменшої довжини. Такі лінії називають геодезичними.

в) Ізопараметрична задача.

На площині знайти замкнуту лінію заданої довжини, яка обмежує найбільшу площу.

Нехай у кожній точці деякого неоднорідного ізотропного середовища, визначена швидкість , яка не залежить від напрямку. Знайдемо час, необхідний для того, щоб точка, рухаючись із швидкістю v, описала деяку лінію l. Елемент шляху ds буде пройдено за час , а для проходження всієї лінії l потрібен проміжок часу, який виражається інтегралом . Закріпимо крайні точки та лінії l, а саму лінію будемо змінювати. В залежності від зміни l, буде змінюватися величина Т. При цьому кажуть, що Т – це функціонал від лінії l.

Основною задачею варіаційного числення є відшукання найбільших та найменших значень функціоналів від ліній та поверхонь, які виражаються деякими визначеними інтегралами.

Лема 1. Якщо інтеграл , де f(x) – фіксована неперервна на [] функція, а — це довільна, неперервна разом зі своєю похідною функція, причому , то тоді f(x)0 на інтервалі [].

Доведення.

Доведемо від протилежного. Нехай в деякій точці функція . Припустимо, для визначеності, що . В силу неперервності f(x)>0 в деякому інтервалі [], причому . Визначимо так:

Побудована функція задовольняє всім умовам леми. Таким чином, одержуємо рівність

.

Інтеграл в правій частині рівності додатний, оскільки за припущенням f(x)>0. Але за умовою леми він повинен бути рівний нулю. Одержане протиріччя доводить лему.

Лема 2. Якщо інтеграл , де f(x,у) – фіксована в області В функція, а — це довільна неперервна в області В разом з першими частинними похідними функція, яка рівна нулю на контурі l області В, тоді f(x,у)0 в області В.

Клас функцій у(х), які мають неперервну першу похідну, позначимо як С1. Відповідно, клас функцій, які мають n неперервних похідних, позначимо як Сn. Назвемо-близькістю кривої у=у(х) всі можливі криві (х), які на всьому проміжку [] задовольняють нерівності . Інколи, окрім цієї нерівності додають ще одну: . У першому випадку кажуть про -близькість нульового порядку, а в другому випадку (при наявності двох нерівностей) —-близькість першого порядку.

Розглянемо задачу

(1)

, (2)

де — задана неперервна разом з похідними до другого порядку своїх аргументів функція в деякій області площини , для всіх значень , а та — задані константи.

Означення. Кажуть, що функціонал досягає відносного екстремуму для кривої , що лежить всередині області , і належить класу та задовольняє умовам (2), якщо величина цього функціоналу для не менше (або не більше) його величини для будь-яких інших кривих класу , що знаходяться в деякій -близькості до , та таких, що задовольняють умовам (2).

Це поняття відносного екстремуму функціонала аналогічне поняттю максимуму та мінімуму функції. Поряд з поняттям відносного екстремуму вводиться поняття абсолютного екстремуму. Нехай — це деякий клас функцій , для яких інтеграл (1) має зміст. Кажуть, що функціонал досягає в класі абсолютного екстремуму для кривої , якщо величина цього функціоналу для не менше (або не більше) його величини для всіх кривих класу .

§2. Вивід рівняння Ейлера.

п.2.1. Рівняння Ейлера в найпростішому випадку.