Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 13 )

Аналогічний факт можна довести і у випадку нелінійної функції . Отже, процедура розв’язку задачі оптимального управління по Понтрягіну зводиться до таких кроків:

1)  По вихідній системі рівнянь (5) складається спряжена система (9), а далі функція (8).

2)  Відшуковується максимум функції по . Записується система канонічних рівнянь (12) та умов (13).

3)  Підставляючи умови максимуму функції Гамільтона в канонічні рівняння, знаходять диференціальні рівняння, які визначають оптимальний процес при граничних умовах.

Приклад 1. Дано рівняння та , де — відоме число.

Розв’язання. Позначимо і . Тоді одержимо систему рівнянь

Функція Гамільтона прийме вигляд . Спряжена система

звідки , . Тоді функція Гамільтона , звідки . буде у випадку , тобто при .

Функція дає рівняння прямої лінії, яка перетинає вісь один раз. Така оптимальна за швидкодією система називається релейною, а управління має два граничні значення та .

Приклад 2. Існує об’єкт з рівнянням руху

Визначити управління таким чином, щоб

.

Розв’язання. Позначимо , . Тоді система рівнянь

Функція Гамільтона або, виділивши повний квадрат, . Оскільки , то буде надавати функції максимум, якщо співпадають знаки та , тобто . Випишемо канонічну систему рівнянь (12).

Умови (13) будуть такими: , , , . Розв’язком цієї системи є оптимальний процес

.