Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 3 )

, .

Задачу (5)-(6) можна узагальнити на випадок функцій :

, (9)

, . (10)

По аналогії з попереднім випадком, функції , які надають екстремум функціоналу (9) при крайових умовах (10), будуть розв’язками такої системи рівнянь Ейлера

Перша варіація функціоналу (9) прийме вигляд

.

п.2.3. Рівняння Ейлера у випадку похідних

вищих порядків.

Розглянемо

. (11)

Як і вище, побудуємо близьку криву , підставимо її в (11), проди-ференціюємо по і покладемо . Таким чином, одержимо

.

Перетворимо всі доданки правої частини, крім першого, інтегруючи кілька разів по частинам:

Вважаємо, що та її похідні до -го порядку обертаються в нуль на кінцях проміжку інтегрування. Внаслідок цього поза інтегральні члени обертаються в нуль, а тому одержимо

,

звідки на основі леми 1 приходимо до такого рівняння Ейлера:

.

Це є диференціальне рівняння порядку . А, отже, для однозначного його розв’язання потрібно мати граничних умов.

Приклад. Знайти .

Розв’язання. Тут , а тому

.

Отже, рівняння Ейлера приймає такий вигляд:

або .

Його розв’язком буде функція . Для однозначного визначення невідомих констант потрібно задати чотири граничні умови.

п.2.4. Частинні випадки рівняння Ейлера.

Можливі такі частинні випадки задання підінтегральної функції :

1) Функція не містить , тобто . У цьому випадку рівняння Ейлера приймає вигляд , і його перший інтеграл .

2) Функція залежить тільки від , тобто . У цьому випадку і рівняння Ейлера буде мати вигляд . Це рівняння розкладається на два рівняння: та .

3) Функція не залежить від , тобто . Тоді, очевидно, , і рівняння Ейлера приймає вигляд . Тобто одержуємо скінчене, а не диференціальне рівняння.

Приклад. Знайти , якщо

.

Розв’язання. Тут . Тоді рівняння Ейлера , звідки . Отже, екстремаллю даного функціоналу може бути тільки пряма при умові, що .

4) Функція лінійно залежить від , тобто . У цьому випадку можна довести, що варіаційна задача не має розв’язку в класі неперервних функцій.

5) Функція залежить тільки від та , тобто . У цьому випадку , і рівняння Ейлера приймає вигляд . Домножимо його на . Тоді або , тобто . Це рівняння має перший інтеграл виду . Одержане диференціальне рівняння першого порядку інтегрується або за допомогою розділення змінних, або шляхом введення параметра.

Приклад. Математична задача про брахістохрону формулюється так. Знайти екстремаль функціоналу ,

.

Розв’язання. Оскільки залежить тільки від та , то можна зразу записати перший інтеграл рівняння Ейлера . У нашому випадку це буде або після спрощень . Якщо ввести параметр за формулою , то розв’язком задачі буде де .