Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 6 )

або

.

Інтегруючи по частинам, одержимо

(3).

Тут та — це граничні значення варіації функції :

, .

Знайдемо першу варіацію ординат кінців кривої, причому проведемо обчислення для правого кінця. Очевидно , тоді

.

Аналогічно, для варіації ординати лівого кінця будуть . Підставивши в (3) замість та їх значення, з обчислених вище формул будемо мати

або остаточно

. (4)

Обчислення, аналогічні попереднім, у випадку інтеграла, який залежить від невідомих функцій приводять до формули

.

Вияснимо геометрично різницю між величинами і .

Координати правого кінця кривих порівняння будують: та . При зміні правий кінець опише деяку лінію . Величина є головна частина приросту ординати на кінці , при переході з основної кривої на криву порівняння . На малюнку АВ=, CD =.

B

D

С

0

A

Із формули (4) випливає, що рівність нулю першої варіації, коли є екстремаллю, приводить до такої умови на рухомому кінці:

. (5)

Ввівши позначення , умову (5) можемо переписати так:

.

Остання рівність називається умовою трансверсальності. Вона встановлює зв’язок між кутовим коефіцієнтом дотичної до екстремалі та кутовим коефіцієнтом дотичної до кривої в кожній точці цієї кривої.

§8. Інваріантність рівнянь Ейлера та Остроградського.

Односторонній екстремум.

Розглянемо найпростіший функціонал і позначимо . Вводячи нову незалежну змінну , можемо записати

і інтеграл по новій незалежній змінній приймає вигляд

.

Вводячи близьку функцію і проводячи звичайні обчислення, будемо мати:

.

Ця ж умова по новій незалежній змінній

.

Прирівнюючи одержані результати, можемо записати:

,

звідки одержуємо .

Таким чином, рівняння Ейлера рівносильне рівнянню . Цей результат може бути узагальнений на випадок, коли підінтегральна функція містить кілька шуканих функцій.

Розглянемо функціонал для випадку двох незалежних змінних

. (1)

Замість вводимо дві незалежні змінні : , , причому вважаємо, що написані функції мають неперервні похідні та відповідний їм функціональний детермінант не обертається в нуль. Перетворена підінтегральна функція прийме вигляд:

.

Як і вище, вводячи близьку функцію , диференціюючи по і покладаючи , будемо мати

,

де — результат перетворення області за допомогою вказаної заміни змінних, — позначення функціонального детермінанта, символ означає ліву частину рівняння Остроградського, тобто . Як і в попередньому випадку, одержуємо формулу . Така ж формула одержується і у випадку більшого числа змінних. Отже, рівняння Остроградського є рівносильним рівнянню Остроградського в нових незалежних змінних.