Розділ 1. Варіаційне числення (стр. 11 )

або

. (7)

Рівняння (7) буде виконуватись, якщо коефіцієнти та підібрати таким чином, щоб вирази у квадратних дужках перетворювалися в нуль. Таким чином, одержимо, що

; ; . (8)

Початкові значення та знаходять з еквівалентності умов , звідки

; . (9)

Знаходження коефіцієнтів , за формулами (8), (9) називається прямою прогонкою. Далі невідомі значення знаходяться за формулами (6). Для цього потрібно знайти , яке визначається із співвідношень

звідки

. (10)

Знаходження невідомих значень за формулами (6), (10) називається оберненою прогонкою.

За допомогою методу прогонки можна розв’язувати нелінійні задачі виду:

Припускаємо, що функція — неперервна в деякій області трьохвимірного простору. Як і раніше, розбиваємо відрізок на рівних частин точками , . Замість задачі (11)-(12) одержуємо таку:

Система (11)-(12) — це система нелінійних рівнянь відносно невідомих. Таку систему можна розв’язувати ітераційними методами, тобто замість системи рівнянь (13)-(14) розв’язувати таку:

Система (15)-(16) — це система лінійних рівнянь, яку можна розв’язувати викладеним вище методом прогонки. Для того, щоб знайдені розв’язки системи (15)-(16) збігалися до розв’язку , системи (13)-(14), необхідно вимагати, щоб нелінійна функція задовольняла умові Лівшиця по змінним та .

Проблемою є не стільки розв’язання крайової задачі для рівняння Ейлера методом прогонки, скільки зведення вихідної задачі до перетвореної у вигляді (4)-(5). Розглянемо це перетворення на прикладі.

Приклад. Звести задачу

,

до задачі у вигляді (4)-(5).

Розв’язання. Розіб’ємо відрізок на частини з кроком , в результаті чого отримаємо чотири вузлові точки з абсцисами

 

Дві точки та є зовнішніми, а точки і — внутрішніми. У внутрішніх точках вихідне рівняння апроксимуємо таким чином:

звідки одержуємо

,

для . Позначивши

; ; ; ,

одержуємо рівняння (4)

.

Апроксимуємо крайові умови. Умова на лівому кінці інтервалу набуває вигляду

,

звідки

або .

Позначивши ; , одержуємо першу крайову умову (5):

.

Друга крайова умова (5) буде такою: , звідки , .

§14. Задачі оптимального управління.

Принцип максимуму Понтрягіна

Задача оптимального управління ставиться так. Знайти вектор-функції , та при , які надають екстремум (максимум або мінімум) функціоналу , тобто

(1)

при диференціальних зв’язках

(2)

які обмежені вздовж траєкторії

, (3)

та крайовими умовами

, . (4)

Будемо вважати, що — неперервні та диференційовні функції по сукупності змінних та . Множина — це деяка область простору , а множини та — деякі області в просторі . Функції називаються фазовими координатами об’єкта, а — параметрами, або рулями управління.