Математические основы квантовой информатики (стр. 10 )

где - ядро оператора, которое можно рассматривать как непрерывную матрицу. Напомним, что определённый интеграл называется несобственным, если один или оба его предела равны ∞ или функция имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .

Два ограниченных линейных оператора  и * в гильбертовом пространстве называются сопряжёнными, если для всех векторов х и у из множества Н справедливо соотношение (x, у) =(х, *у). 

Здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение.

Оператор, совпадающий со своим сопряжённым, называется самосопряжённым или эрмитовым. Оператор, оставляющей норму вектора неизменной, называется унитарным.

Каждому линейному дифференциальному оператору сопоставляется уравнение (основное уравнение теории линейных операторов)

,

т. е. в результате действия оператора на функцию x получается произведение некоторого параметра q на ту же функцию x. Функции x1, x2, … (решения последнего уравнения) называются собственными функциями оператора , а соответствующие значения параметра q1, q2, …, при которых собственные функции конечны, - его собственными значениями. Спектр собственных значений может быть дискретным, непрерывным и смешанным. Если некоторому значению q соответствует несколько собственных функций, состояние называется вырожденным.

Собственные значения эрмитова оператора вещественны, а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Именно такие операторы рассматриваются в квантовой механике.

Собственные функции вырожденного состояния, вообще говоря, не ортогональны. Однако их можно заменить другими функциями – линейными комбинациями прежних, которые тоже будут собственными функциями и будут взаимно ортогональны.

Большое значение в физике имеет векторный дифференциальный оператор набла (или градиент)

,

где  — единичные векторы по осям x, y, z.

Также используется оператор Лапласа (лапласиан):

.

В квантовой механике всем физическим величинам соответствуют операторы, а возможные значения этих физических величин есть собственные значения соответствующих операторов.

Для записи уравнения Шрёдингера используется оператор энергии, называемый оператором Гамильтона (гамильтонианом):

.

С использованием гамильтониана основное уравнение квантовой механики для стационарного случая, когда потенциальная энергия U не зависит от времени, записывается так:

где E – возможные значения энергии микрообъекта (собственные значения гамильтониана).

Коммутатором операторов  и  в алгебре, а также в квантовой механике, называется оператор [,] = - . В общем случае он не равен нулю. Один из важных вопросов в квантовой механике – вопрос о возможности одновременного измерения значений физических величин, характеризующих квантовомеханическую систему. Если две такие величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, т. е. множества собственных функций операторов величин совпадают. Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример таких операторов - операторы импульса и координаты.

Рассмотрим теперь представление операторов матрицами.

Пусть действие оператора на функцию φ преобразует её в функцию f :

. (1)

Рассмотрим некоторый вспомогательный (базисный) оператор . Его собственные функции ψ1, ψ2, ψ3, … ортонормированную систему, т. е. , где δmn – символ Кронекера (δmn= 1 при m = n и δmn= 0 при m ≠ n).

Разложим функции φ и f по собственным функциям базисного оператора.

, (2)

. (3)

Коэффициенты и представляют собой скалярные произведения:

и .

Функцию (2) можно представить в виде матриц порядка ∞×1(матрица-столбец) или 1×∞(матрица-строка):

φ = ; φ = .

Аналогично для функции (3):

f = ; f = .

Подставим (2) и (3) в (1).

. (4)

Умножим левую и правую части уравнения (4) скалярно на Ψm .

= .

Но , поэтому сумма справа равна bm и уравнение (4) можно записать в виде:

= bm , (5)

где Qmn = = .

Уравнение (5) представляет собой правило, по которому совокупность элементов преобразуется в совокупность коэффициентов bm . Совокупность величин Qmn (матрица с бесконечным числом строк и столбцов) представляет оператор . Уравнение (1) в матричном виде имеет вид:

. (6)

Если вспомогательный (базисный) оператор есть оператор координаты, то говорят о координатном представлении. Если оператор импульса – об импульсном представлении. Матрица оператора  в собственном представлении является диагональной, причем её диагональные элементы являются собственными значениями этого оператора. Таким образом, задача об определении собственных значений оператора в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит её к диагональному виду.

Эрмитову оператору соответствует эрмитова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение .

Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не присутствует волновая функция. Сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, в которых классические физические величины заменены соответствующими матрицами.