Математические основы квантовой информатики (стр. 5 )

- при перестановке сомножителей меняется знак ВП;

- координаты (проекции на координатные оси) ВП c = [a×b] векторов a (a1, a2, a3) и b (b1. b2, b3) рассчитываются по формулам:

cx = a2b3 – a3b2; cy = a3b1 – a1b3; cz = a1b2 – a2b1 .

Понятие ВП можно обобщить на случай любого числа измерений.

Теоретически в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение  (n – 1) векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторными результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат ВП, как и скалярного, зависит от метрики евклидова пространства.

В отличие от скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат ВП зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности»: при переходе от левой к правой системе координат ВП меняет знак.

10. Вектор состояния – элемент гильбертова пространства. Вектор состояния представляет собой совокупность математических величин, полностью описывающих квантовую систему. Например, совокупность четырёх квантовых чисел n, l, ml, ms определяет состояние электрона в атоме водорода. Всякую непрерывную функцию так же можно рассматривать как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Представление о векторах в бесконечномерном пространстве ввёл английский физик Поль Дирак.

Поль Дирак (1902-1984) – английский физик, один из творцов квантовой механики

Поэтому волновая функция в квантовой механике есть частный случай вектора состояния.

См. также: Гильбертово пространство, Волновая функция.

11. Вероятность - численная мера возможности наступления некоторого случайного события. Случайные события – это события, которые могут произойти или не произойти. Такие события делятся на два класса; единичные (однократные) и массовые. Единичные (случайные) события не подчиняются количественным закономерностям. Массовые же события обнаруживают статистические закономерности. В теории предполагается, что случайное событие происходит или не происходит в результате испытания. Ожидаемое событие называют благоприятным. Математической вероятностью называется предел отношения числа благоприятных событий к общему числу событий, когда общее число событий стремится к бесконечности:

.

Здесь Ni – число благоприятных событий (или число испытаний, приводящих к осуществлению ожидаемого события);

N – общее число событий (или общее число испытаний).

Например, при бросании монеты бросание – испытание, выпадение орла или решки – событие. Вероятность выпадения, например, орла равна 1/2.

Чтобы определить вероятность не обязательно всегда проводить испытания. Можно ввести априорную вероятность. В нашем примере с монетой вероятность выпадения орла или решки одинакова, и, поскольку других возможностей нет, можно, не проводя испытаний (бросаний), приписать вероятности значение 1/2.

Вероятность события A при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и записывается как P(AB).

Для независимых событий P(AB) = P(A), для зависимых событий P(AB) ≠ P(A).

Сформулируем теперь основные теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух (или нескольких) независимых событий равна сумме вероятностей этих событий

P(A + B) = P(A) + P(B).

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей появления каждого из этих событий

P(A∙B) = P(A) ∙ P(B).

Вероятность произведения двух зависимых событий даётся произведением вероятности наступления одного из событий на условную вероятность наступления второго события 

P(A∙B) = P(A) ∙ P(BA).

Суммой событий A1, A2, …, Ai, … , AN называется такое событие В, которое состоит в наступлении хотя бы одного события Ai :

.

Произведением событий A1, A2, …, Ai, … , AN называется такое событие В, которое состоит в одновременном появлении всех событий:

.

Рассмотрим несколько типичных задач по теории вероятностей.

Задача 1. Два стрелка одновременно стреляют в мишень. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,7, а вторым - 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Ответ: P(A) = P1 ∙ P2 = 0,7∙0,9 = 0,63.

Задача 2. Бросают 4 игральные кости, каждая из которых имеет 6 граней. Найти вероятность того, что выпадет по одинаковому числу очков на каждой из брошенных костей.

Ответ: P(AAAA) = P(A)∙ P(A)∙ P(A)∙ P(A) = .

Задача 3. Два стрелка стреляют одновременно по мишени. Вероятность попадания у первого стрелка 0,7, а у второго 0,8.Найти вероятности того, что...

a) оба попали;

b) оба промахнулись;

c) попал один из стрелков;

d) попал хотя бы один из стрелков.

Составим таблицу всех возможных исходов, обозначив «+» - попал, «-» - промахнулся.

1 стрелок + - - +

2 стрелок + - + -

Ответ:

a)  P(A) = P(A1)∙P(A2) = 0,7∙0,8 = 0,56 (теорема умножения вероятностей);

b)  P(A) = P(A1)∙P(A2) = (1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3∙0,2 = 0,06 (теорема умножения вероятностей);

c)  имеем два взаимоисключающих исхода:

попал первый стрелок, то второй промахнулся,

попал второй стрелок, то первый промахнулся;

воспользуемся теоремой умножения и теоремой сложения вероятностей:

P(B) = 0,7(1 - 0,8) + 0,8(1 - 0,7) = 0,38.

d)  в этом случае нас не интересует только один исход – когда промахнулись оба, поэтому:

P(C) = 1- 0,06 = 0,94.

Литература

1. Теория вероятностей. –М.: Наука, 1969. -576 с. (и более поздние издания).

12. Волновая функция (амплитуда состояния) — частный случай вектора состояния, одно из координатных его представлений, когда в качестве базиса выбираются пространственно-временные координаты (x, y, z, t).

См. также: Базис, Вектор состояния. 

13. Гильбертово пространство (ГП) или пространство состояний – это векторное (линейное) пространство над полем комплексных чисел, обобщение евклидова пространства на случай любого числа измерений. Названо в честь немецкого математика Давида Гильберта.

Давид Гильберт (1862-1943) – великий немецкий математик

ГП - это математическая структура, которая представляет собой совокупность элементов, называемых векторами состояния, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число - скаляр.

ГП приписывают следующие свойства:

1. В ГП определено сложение элементов, т. е. есть любой паре элементов f и g сопоставляется элемент h = f + g, так что f + g = g + f, (f + g) + h = f + (g + h) и существует нулевой элемент.

2. В ГП определено умножение элемента ГП на действительное число a: a∙f = g; при этом (a+b)∙f = a∙f + b∙f, a∙(f + g) = a∙f + a∙g и (a∙b)∙f - a∙(b∙f).

3. ГП может иметь любую (в том числе бесконечную) размерность.

4. Скалярное произведение в ГП вводится аксиоматически:

(f, g) ≥ 0, (f, f) = 0, если f = 0;

(f, g+h) = (f, g) + (f, h) - ассоциативность;

(af, g) = a(f, g), где a – любое действительное (вещественное) число;

(f, g) = (g, f)*- перестановочная симметрия (для вещественного пространства сопряжение не требуется).

Норма вектора определяется как корень квадратный из скалярного произведения вектора самого на себя: || f || = .

5. Сходимость в себе. Если имеется последовательность элементов f1, f2, ... и для любого ε > 0 можно найти такое N, что || fn – fm || < ε, если n и m больше N, то эта последовательность сходится к пределу f, который также является элементом ГП.

6. Сепарабельность. В ГП существует полная ортонормированная система элементов, представляющая собой счётное множество. ГП, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.