Сложение, вычитание и умножение таких чисел производится по общему правилу действий с многозначными числами. Для деления удобнее, если основанием системы счисления является простое число.

Рассмотрим те квазибесконечные числа, в которых влево от некоторой позиции идут одни нули, например:

...000000, ...000001, ...000002, ...002937, ...

Такие числа при сложении и умножении ведут себя как обычные неотрицательные целые числа.

Числа, в которых влево от некоторой позиции идут одни только наибольшие цифры данной системы счисления (девятки в десятичной системе, единицы в двоичной), можно отождествить с обычными отрицательными целыми числами. Покажем это.

Вычтем из нуля (...00000) единицу (...00001). Следуя алгоритму вычитания столбиком с заимствованием из следующего разряда, получим ...99999. Снова вычитая единицу, получим...99998, ...99997 и т. д. Это обычный дополнительный код, широко используемый в компьютерах для представления отрицательных чисел.

Отрицательное число –x рассматривается как число, которое при сложении с x даёт...00000. Значит, чтобы получить −x, нужно:

-каждую цифру xi заменить на (N − 1) − xi  (где N — основание системы счисления);

- к получившемуся числу прибавить...00001.

Например, в десятичной системе:

−...000000023 = ...999999977

В двоичной системе:

−...000000101 = ...111111011

p-адические числа отличаются от рассмотренных квазибесконечных чисел лишь формой записи: цифры обычно записываются в обратном порядке (бесконечный хвост уходит вправо, а не влево).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Дадим определение. Целым p-адическим числом для заданного простого p называется бесконечная последовательность x=\{x_1,x_2,\ldots\} вычетов x_n по модулю p^{n}, удовлетворяющих условию:

x_n\equiv x_{n+1}\pmod{p^n}.

Сложение и умножение целых p-адических чисел производится как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Можно ввести также p-адические дроби и комплексные числа.

Формальное определение, приведённое выше, требует пояснения. Рассмотрим более подробно логику введения p-адических чисел. Существуют следующие обобщения понятия числа:
1) натуральные числа;
2) целые числа;

3) рациональные числа (дроби);

4) вещественные (действительные) числа;
5) комплексные числа;

6) кватернионы (содержат одну вещественную единицы, 3 комплексных, коммутативность отсутствует);
7) октавы (разных единиц уже 8, ассоциативность отсутствует).

В этой последовательности каждое следующее множество чисел включает предыдущее как частный случай. При этом каждый раз можно доказать некоторую «естественную» теорему единственности такого расширения понятия числа. Таким образом, может показаться, что существуют некоторые «самые настоящие числа», а все прочие - частные случаи. Однако, на самом деле никаких «самых настоящих чисел» не существует, а понятие числа можно обобщать исходя из разных предпосылок. При введении p-адических чисел вплоть до рациональных чисел включительно мы идём по приведённому выше списку, но от рациональных чисел пути расходятся: вместо того, чтобы переходить к вещественным, переходим к p-адическим.

Рассмотрим более подробно переход от рациональных чисел к вещественным и посмотрим, как вместо вещественных можно перейти к p-адическим.

Вещественные числа можно ввести тремя способами:

1) через бесконечные десятичные дроби;
2) через дедекиндовы сечения;
3) через пополнение рациональных чисел по норме (если мы хотим задать норму на поле рациональных чисел, то это будет либо абсолютная величина, либо p-адическая норма).
В первом случае вещественное число определяется как десятичная дробь, т. е. последовательность цифр {0, 1, 2, 3, …,9, …}, в которой после одной из цифр стоит десятичная запятая. При этом: 
1) слева от запятой может быть только конечное число ненулевых цифр;
2) справа от запятой количество цифр может быть бесконечным;
3) дроби с бесконечным хвостом из цифр "9" не рассматриваются, считается, что 0,(9) = 1. 
4) перед числом может стоять знак «плюс» или «минус».
Вместо десятичных дробей можно рассматривать дроби с другими основаниями системы счисления. При этом будет получаться то же самое  множество вещественных чисел.
p-адическое число также можно определить как бесконечную дробь, т. е. последовательности цифр {0, 1, ..., (p -1), …}, в которой после одной из цифр стоит запятая. При этом:
1) справа от запятой может быть только конечное число ненулевых цифр;
2) слева от запятой количество цифр может быть бесконечным.
Аналог условий 3 и 4 отсутствует.
Можно рассматривать системы счисления с различными основаниями p, но только для простых p (делящихся только на единицу и на себя) возможно определить деление на все ненулевые числа. При этом разным p будут соответствовать разные множества p-адических чисел.
Рациональным числам по-прежнему соответствуют периодические дроби.
Такие дроби можно рассматривать и как формальные ряды по степеням основания системы счисления (простого p) вида
,
где xn = 0, 1, .., (p – 1) - цифра с соответствующим номером n.
В обоих случаях часть m-ичной (p-ичной) дроби слева от запятой называется целой частью (обозначается [x]), а часть дроби справа от запятой - дробной частью (обозначается {x}). 
Для вещественных чисел множество всех возможных целых частей имеет мощность множества натуральных чисел, а множество всех возможных дробных частей - мощность самого множества вещественных чисел («мощность континуума»). Напомним, что мощность множества - это обобщение понятия количества или числа элементов, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.
Для p-адических чисел множество всех возможных целых частей имеет мощность самого множества p-адических чисел («мощность континуума»), а множество всех возможных дробных частей - мощность множества натуральных чисел. Действительно, перед запятой здесь может быть бесконечно много цифр, а после запятой цифр всегда конечное количество.
Гензель доказал, что понятие непрерывности можно вывести не только так, как это делается в случае действительных чисел. Действительные числа упорядоченно расположены на числовой оси, и любой отрезок на прямой можно до бесконечности делить на два меньших отрезка, имеющих общую границу. В случае p-адических чисел картина выглядит совершенно иначе. Во-первых, множество p-адических чисел является неупорядоченным: для любой пары таких чисел нельзя сказать, что одно из них «больше», а другое «меньше». Соответственно, между этими числами нет и интервала, в котором можно было бы искать другие числа («меньше первого и больше второго»). Во-вторых, множество p-адических чисел является дискретным.

Аналогично проводится разложение действительных чисел по разным основаниям: всякое число можно записать в виде суммы степеней одного и того же числа-базы (10 - в десятичной системе, 2 - в двоичной и т. д.).

В случае p-адических чисел в качестве основания берется простое число – делимое лишь на себя и 1 (такое число по-немецки называется Primzahl, отсюда название таких чисел p-adische Zahlen). Гензель показал, что если рациональные числа, (дроби) выражать через степени простого числа, то получается множество особых чисел, названных им p-адическими. Каждому числу p соответствует своё дерево (своя «параллельная математическая Вселенная»).

p-адические числа можно уподобить ветвям огромного, бесконечно ветвящегося дерева (рис. 1). Такое дерево «вырастает» из некоторой точки на числовой оси. В каждом узле ветка делится на p ветвей (в данном случае на две ветви).

Рис. 1. p-адическое дерево (для p = 2).

Пусть мы хотим записать путь по этим ветвям. В каждом узле нумеруем ветки дерева одной p-ичной цифрой от 0 до (p - 1) (в данном случае 0 или 1). Таким образом, наш путь по ветвям дерева определяется последовательностью цифр (нулей и единиц). Последовательности 1, 0, 0, 0, 0, … ,0, … 0,... и 0, (p - 1), (p - 1), (p - 1), … , (p - 1), (p - 1), … не эквивалентны, им соответствуют разные пути, поэтому любую последовательность цифр можно наглядно отождествить с p-адическим числом.
Можно также рассмотреть формально p-адичные дроби с бесконечными хвостами цифр в обе стороны. При этом знак перед дробью не ставится (как для p-адических чисел), уходящие вправо хвосты из цифр (p - 1) обрабатываются как для вещественных чисел. Множество таких дробей называют p-адическим соленоидом. На p-адическом соленоиде определено сложение и вычитание, но не умножение и деление. Элементы p-адического соленоида можно рассматривать как пары (x, y), где х - вещественное число из отрезка [0, 1), а y - целое p-адическое число.
(x, y) + (u, v)=({x + u}, y + v + [x + u])
p-адический соленоид действительно напоминает обычный соленоид: точки близкие к нулю могут быть близки к нему как вдоль нити (вещественные числа), так и поперёк, на следующих витках (p-адические числа).
С конца 20-го века понятие p-адического числа стало широко применяться в математической физике, в частности, в моделях p-адической квантовой механики (квантовая гравитация, теория суперструн и др.). В эксперименте мы всегда имеем дело только с целыми и рациональными числами - частным случаем p-адических чисел. Иррациональные числа, т. е. бесконечные десятичные дроби - это идеализация, которая в реальных прикладных задачах не встречается. Но на планковских расстояниях (планковская длина ≈ 10-35 м есть расстояние, на котором гравитационные и квантовые эффекты сравнимы по силе) меняется структура пространства-времени. В таких масштабах происходят большие флуктуации метрики, меняется топология, аксиома Архимеда становится неприменимой, и для описания процессов оказалось удобно применить неархимедову геометрию и p-адические числа (работы проф. , и др., Математический институт им. ).

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15