Если задана произвольная система чисел \{a_n\} такая, что

 \sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty,

то в случае ГП с ортонормированным базисом \{e_n\} ряд  

\sum_{n=1}^\infty a_ne_n 

сходится по норме к некоторому элементу x\in X. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного ГП (так называемая теорема Рисса - Фишера).

В квантовой механике ГП – это множество всех возможных состояний квантовой системы. Элементом ГП является вектор состояния, имеющий конечную норму (длину). Размерность ГП в квантовой механике может быть различной в зависимости от набора базисных состояний. Система с двумя базисными состояниями называется кубит. Это может быть электрон в состояниях «спин вверх» и «спин вниз» или фотон с двумя состояниями поляризации (вертикальной и горизонтальной). Размерность такого ГП равна двум. Система из N кубитов имеет 2N линейно независимых состояний, и размерность соответствующего ГП равна 2N . Если рассматривается функция непрерывно меняющейся координаты, то размерность такого ГП равна бесконечности.

Сопоставление характеристик линейного трёхмерного и бесконечномерного векторного пространства дано в нижеприведённой таблице.

Таблица. Трёхмерное и бесконечномерное векторное пространство

Трёхмерное векторное пространство

Бесконечномерное векторное пространство

Разложение вектора a по базисному набору векторов  e1, e2, e3: 

Разложение функции  f (x)  по базисному набору функций   : 

Координаты вектора a в ортонормированном базисе {e1, e2, e3}: 

Коэффициенты разложения функции  f (x)  по ортонормированному набору функций   : 

Скалярное произведение векторов a и b: 

Скалярное произведение функций  f (x)  и  g (x):   

Условие ортонормированности векторов  en :

,

где δnk – символ Кронекера

Условие ортонормированности функций    на промежутке (a, b):

Длина (норма) вектора a: 

Норма функции  f (x) : 

См. также: Базис, Ортонормированный базис, Вектор состояния, Норма вектора, Скалярное произвдение, Функциональный анализ.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

14. Дедекиндово сечение (сечение Дедекинда) – один из аксиоматических методов введения вещественных чисел из рациональных, предложенный в 1872 г. немецким математиком  Рихардом Дедекиндом.

Юлиус

Рихард Дедекинд (1831-1916) – известный немецкий математик-алгебраист

Множество вещественных чисел определяется как множество так называемых дедекиндовых сечений. По Дедекинду, множество рациональных чисел можно разбить на два класса (на два подмножества A и B) такие, что:

1. a\leqslant b для любых a\in A и b\in B;

2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. Далее в множестве таких чисел-разбиений вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Например, вещественному числу   соответствует дедекиндово сечение, определяемое подмножествами:

A = {x ≤ 0, x2 ≤ 2};

B ={x > 0, x2 > 2}.

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить  , можно рассечь множество рациональных чисел на две части: все числа, что левее , и все числа, что правее ; соответственно,  равен точной нижней грани множества B\,.

Ещё пример. Иррациональное число  разбивает множество рациональных чисел на два класса. Один класс - множество отрицательных рациональных чисел, нуль и такие положительные рациональные числа а,  что а7 < 5. Второй класс – такие положительные рациональные числа b, что b7 > 5.

Литература

1. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.

-Режим доступа: http:///d. php? id=10256

15. Дискретное логарифмирование. Пусть задано показательное уравнение ax = b.Задача дискретного логарифмирования состоит в нахождении целого неотрицательного числа x, удовлетворяющего данному уравнению. Чаще всего задачу дискретного логарифмирования рассматривают в группе кольца вычетов. Если оно разрешимо, у него должно быть хотя бы одно натуральное решение, не превышающее порядок группы (порядок группы – число её элементов). Это сразу даёт грубую оценку сложности алгоритма поиска решения сверху - алгоритм полного перебора позволяет найти решение за число шагов, не выше порядка группы.

Рассмотрим задачу дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Вычеты - это просто остатки от деления на целое число. Совокупность таких остатков называется кольцом вычетов. Например,  при делении на 5 могут быть остатки 0, 1, 2, 3, 4 .

Пусть задано сравнение

3^x\equiv 13\mod{17}.

Будем решать задачу методом перебора. Составим таблицу всех степеней числа 3. Каждый раз мы вычисляем остаток от деления на 17 (например, 33≡27 — остаток от деления на 17 равен 10).

Таблица. Степени числа 3 и остатки от деления на 17

31 ≡ 3

32 ≡ 9

33 ≡ 10

34 ≡ 13

35 ≡ 5

36 ≡ 15

37 ≡ 11

38 ≡ 16

39 ≡ 14

310 ≡ 8

311 ≡ 7

312 ≡ 4

313 ≡ 12

314 ≡ 2

315 ≡ 6

316 ≡ 1

Теперь легко увидеть, что решением рассматриваемого сравнения является x=4, поскольку 34≡13.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15