Математические основы квантовой информатики (стр. 12 )

2.  Два исходных числа сравниваются. В разряд знака результата записывается знак большего исходного числа.

3.  Если числа имеют разные знаки, то вместо операции сложения используется операция вычитания из большего по модулю значения меньшего. При этом первый (знаковый) разряд в операции не участвует.

4.  _000 0111

5.  000 0101

6.  -------------

7.  000 0010

8.  После выполнения операции учитывается первый разряд. Результат операции 1 000 0010, или -210.

Сложение положительного числа и отрицательного числа, представленного в дополнительном коде

1.  Прямой код числа 5: 0 000 0101
Прямой код числа -7: 1 000 0111

2.  Формирование дополнительного кода числа -7.
Прямой код : 1 000 0111
Инверсия : 1 111 1000
Добавление единицы: 1 111 1001

3.  Операция сложения.

4.  0 000 0101

5.  [phone]

6.  --------------

7.  1 111 1110

8.  Проверка результата путем преобразования к прямому коду.
Дополнительный код: 1 111 1110
Вычитание единицы : 1 111 1101
Инверсия : 1 000 0010 (или -210)

Чтобы перевести чисто периодическую дробь в обыкновенную, надо в числитель дроби записать значение периода, а в знаменатель столько 9, сколько цифр в периоде. 
Например: 0,(42) = 42/99 = 14/33. 
Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную дробь, надо составить дробь следующим образом: 
– в числитель записать разность числа, состоящего из цифр до периода и цифр периода, и числа, состоящего из цифр до периода; 
– а в знаменатель записываются 9 столько, сколько цифр в периоде, и 0 столько, сколько цифр от запятой до периода. 
Например: 0, 18(359) = (18359 - 18)/99900.

Литература

1. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.

-Режим доступа: http:///d. php? id=10256

29. Преобразование Адамара -  унитарный оператор, действующий на кубит по правилу:

;

.

Названо в честь французского математика Жака Адамара.

Жак Адамар (1865-1963) - французский математик и механик

Оператор Адамара можно задать матрицей:

.

Если преобразование Адамара применить два раза, то получится исходное состояние.

Если из элементов матрицы H составить базисные вектора

e1= [h11, h12] = [1, 1] и [h21, h22] = [1, -1] , 

то они будут соответствовать повороту ортогональной системы координат на 45° относительно единичного базиса (рис. 1). Легко показать, что в базисе, повёрнутом на 45◦, значение кубита строго определено. Действительно, пусть кубит находится в состоянии (состояния и равновероятны. Применяя к этому состоянию преобразование Адамара, получим: , т. е. значение кубита строго определено.

Рис. 1. Преобразование Адамара как поворот системы координат на 45◦.

Если представлять состояние квантового кубита как точку на окружности, то преобразование Адамара равносильно симметричному относительно луча под углом π/8 отражению точки.

Как реально осуществить преобразование Адамара?

Рассмотрим устройство, называемое «делитель 50/50» (рис. 2). Если это луч света, то, проходя через такое устройство (рис. 2, внизу), он расщепляется на два луча одинаковой интенсивности. Если на входе частица, то на выходе она с равной вероятностью может пойти вверх или вниз. Пусть на входе кубит с произвольным состоянием

,

где a – амплитуда вероятности обнаружить падающую на делитель частицу сверху;

b - амплитуда вероятности обнаружить падающую на делитель частицу сверху.

Рис. 2. Делитель 50/50 и преобразователь Адамара.

Тогда на выходе будет состояние:

.

Здесь (a + b) и (a – b) - – амплитуда вероятности обнаружения частицы в верхнем или нижнем выходящем пучке. Если a = 0 или b = 0, то частицу можно с равной вероятностью обнаружить в любом из выходящих пучков. Если a = b, то частица будет обязательно обнаружена в верхнем пучке, но не в нижнем.

Преобразование Адамара – одно из основных преобразований в квантовой информатике. Используется, в частности, при осуществлении протокола телепортации.

Литература

1. Физика квантовой информации.

-М.: Постмаркет, 2002. - 376 с.

-Режим доступа: http://quantmag. ppole. ru/Books/boumeister. pdf

30. Преобразование Фурье - преобразование функции, превращающее её в сумму частотных составляющих (гармоник). Говоря более строго, преобразование Фурье - это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, т. е. представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Дискретное преобразование Фурье - это разновидность преобразования Фурье, широко применяемая в алгоритмах цифровой обработки сигналов, в сжатии звука в mp3, сжатии изображений в JPEG и т. д.

Существуют два способа представления сигнала - один из них основан на математическом представлении сигнала как функции времени x = f(t), где независимая переменная t - время, и второй в виде X=F(ω), где независимая переменная ω - частота. С помощью преобразования Фурье производится преобразование из одной формы представления сигнала в другую. Если сигнал имеет аналоговый вид - представляет собой непрерывную функцию, определенную на бесконечном промежутке времени, то преобразование Фурье производится по формулам (прямое и обратное преобразование):

Дискретный сигнал представляет собой решётчатую функцию (т. е. функцию, значения которой определены только в дискретные моменты времени), определённую на конечном промежутке времени (время измерения конечно!). Преобразование Фурье принимает в этом случае следующий вид:

где: T - период дискретизации;

n - номер отсчёта дискретизированного сигнала, n = 0, 1, 2,…, N-1;

k - номер гармоники сигнала, k = 0, 1, 2,…, (N – 1), частота гармоник равна k/Tизм, где Tизм - период измерения;

W - вспомогательная функция.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки - в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других.

31. Проектор (иначе оператор проектирования или проекционный оператор) - в линейной алгебре и функциональном анализе так называется линейный оператор , действующий в линейном пространстве, если . Иногда проекционный оператор называют идемпотентным. Идемпотентность -  означает свойство оператора, которое заключается в том, что повторное действие его над объектом не изменяет объекта. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов, произведя его от латинских слов idem («тот же самый») и potens («способный»).

См. также: Оператор.

32. p-адические числа (читается: пэ-адические числа) – расширение поля рациональных числ. Введены в 1897 году немецким математиком Куртом Гензелем.

Курт Гензель (1861-1941) – немецкий математик

Рассмотрим сначала так называемые квазибесконечные числа. Будем называть так бесконечную последовательность цифр, идущую справа налево, например: ...4919243793684028831439284568.