Произведением двух матриц А = (a i j ) и B = (b j k ), где i = , j= , k= , заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c i k ), элементы которой определяются по следующему правилу:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k =  a i s b s k.    

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В (правило «строка на столбец»).

Пример. Найти произведение матриц A =  и  B =.

Решение. Имеем: матрица А размера 2´3, матрица В размера 3´3, тогда произведение АВ = С существует и элементы матрицы С равны 
с 11 = 1×1+2×2+1×3 = 8, с 12 = 1×2+2×0+1×5 = 7, с 13 = 1×3+2×1 + 1×4 = 9,

с 21 = 3×1+1×2 + 0×3 = 5, с 22 =3×2+1×0+0×5 = 6, с 23 = 3×3+1×1+0×4 = 10.

AB = , а произведение BA не существует.

Можно показать, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n; и обратно - каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В квантовой механике вводится понятие матрица плотности – матрица, при помощи которой можно описывать как чистые состояния (замкнутые системы), так и смешанные, то есть открытые системы, взаимодействующие со своим окружением. 
Для описания спина электрона в магнитном поле В. Паули ввёл набор из трёх эрмитовых 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Матрицы Паули имеют вид:

\sigma_1 \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}.

Если к этим трём матрицам добавляют четвёртую единичную матрицу

\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix},

то эти четыре матрицы образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц размерности 2×2. Это значит, что любая двумерная матрица, в частности, микрообъекта с двумя базисными состояниями (матрица Гамильтона), может быть выражена как суперпозиция этих матриц.

В физике часто рассматриваются повороты в пространстве разной размерности и соответствующие матрицы преобразований.

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом \;\theta со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \mp \sin{\theta} \\ \pm\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}

Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец:

\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \mp \sin \theta \\ \pm \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}.

Координаты (x', y') в результате поворота точки (x, y) имеют вид:

x' = x \cos \theta \mp y \sin \theta\,,

y' = \pm x \sin \theta + y \cos \theta\,.

Верхний знак предполагает правую систему координат и вращение против часовой стрелки или левую систему координат и вращение по часовой стрелке. В двух других случаях берётся нижний знак. Направление вращения (по или против часовой стрелки) определяется для наблюдателя, смотрящего против направления оси вращения.

Вращение в трёхмерном пространстве представляет собой комбинацию поворотов вокруг трёх ортогональных осей. Матрица преобразования представляет собой в этом случае произведение соответствующих трёх матриц поворота. Ниже приведены матрицы поворота на угол α вокруг каждой из трёх осей декартовой системы координат.

M_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} ,

M_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix} ,

M_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} .

Аналогично записываются матрицы поворота в пространстве любой размнргости n > 3. В этом случае, однако, нельзя указать единственную ось, перпендикулярную двум данным осям. Поэтому нельзя говорить о вращении вокруг оси, а можно говорить только о вращении в плоскости. Последнее утверждение справедливо и при n = 2. Например:

M_{1,2}(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

- матрица поворота в 5-мерном пространстве в плоскости x_1 x_2,

M_{2,4}(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

- матрица поворота в 7-мерном пространстве в плоскости x_2 x_4.

Говоря о матрицах, нельзя хотя бы вскользь не упомянуть о тензорах. Если матрица – это плоская таблица чисел, то тензор второго ранга можно рассматривать как «стопку» матриц (трёхмерную таблицу чисел). Тензоры, как и матрицы, могут иметь любую размерность. Скаляры, векторы, матрицы можно рассматривать как частные случаи тензоров: скаляр – это тензор нулевого ранга, вектор - первого ранга, матрица – второго ранга.

См. также: Оператор.

20. Модуль сравнения. Два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа N (или равноостаточны при делении на N), если при делении на N они дают одинаковые остатки. Число N называется модулем сравнения. Можно дать эквивалентную формулировку: a и b сравнимы по модулю N, если их разность (a – b) делится на N без остатка, или если a может быть представлено в виде a = b + kN, где  — некоторое целое число. Например 47 и 15 сравнимы по модулю 8, так как 47 = 15 + 4∙8. Утверждение «a и b сравнимы по модулю N» записывается в виде: .

Умножение по модулю $N$ есть остаток от деления произведения на $N$. Эта операция записывается так: $a\otimes b = (a\cdot b) \mod N$.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15