Математические основы квантовой информатики (стр. 4 )

5. Базис (др.-греч. βασις - основа) - любые n линейно независимых векторов n-мepного векторного (линейного) пространства образуют базис этого пространства (вектора линейно независимы, если любая их линейная комбинация не равна нулю). Любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. В 3-мерном декартовом пространстве базисом являются три единичных вектора по координатным осям (орты): i, j, k. Любой вектор a единственным образом можно представить в виде: a = ax i + ay j + az k. Числа ax, ay, az - проекции вектора a на координатные оси, называются компонентами (координатами) вектора a. Каждую проекцию можно представить в виде скалярного произведения: ax =(a∙i), ay =(a∙j), az =(a∙k). Аналогично, любую функцию f можно разложить по собственным функциям некоторого базисного линейного оператора:

.

Коэффициенты представляют собой скалярное произведение .

В квантовой информатике часто рассматривается базис Белла – ортонормированный базис в 4-мерном гильбертовом пространстве. Например, для двух электронов, каждый из которых может находиться в состояниях «спин вверх» и «спин вниз», этот базис выглядит так:

,

Любое состояние двухчастичной системы можно спроецировать на базис Белла. Вектора, образующие базис, ортогональны и норма (модуль) каждого из них равна единице.

См. также: Ортогональный базис, Ортонормированный базис, Гильбертово пространство.

6. Булева алгебра (БА) – раздел математической логики, изучающий логические высказывания и операции над ними (исчисление высказываний). В обычной алгебре элементами являются числа. В БА – высказывания. Логическим высказыванием называется любое утверждение, по отношению к которому можно сказать истинно оно или ложно. Основоположник исчисления высказываний – английский математик Джордж Буль.

Джордж Буль (1815-1864) – английский математик и логик

В БА используются логические связки «не», «и», «или», «если... , то», «тогда и только тогда». Если высказывание истинно, то это обозначается так: А = 1, если же оно ложно, то А = 0. Т. е. высказывание может быть только истинным или ложным, третьего не дано. С помощью логических связок из простых высказываний строятся сложные.

Два простых высказывания, соединённые союзом «и», называются логическим произведением (конъюнкцией). Произведение двух высказываний считается истинным (равным 1), тогда, и только тогда, когда оба сомножителя истинны, и ложным (равным 0), если хоть один из сомножителей ложен. Логическое произведение обозначается символом ^. В качестве примера логического произведения возьмем два простых высказывания: «пять больше трёх», обозначим его буквой А, и «пять меньше десяти» обозначим буквой В. Произведение С = А^В = «пять больше трёх и пять меньше десяти».

Два простых высказывания, соединённые союзом ИЛИ (логическая связка «или»), образуют сложное высказывание, называемое логической суммой (дизъюнкцией). Если союз ИЛИ употребляется в исключающем смысле, то высказывание нельзя считать суммой. Логическая сумма обозначается знаком ( от лат. vel – или). Сумма считается истинной, то есть равной единице, если истинно хотя бы одно из слагаемых. Рассмотрим пример логической суммы. Высказывание А: «Сегодня я пойду в институт». Высказывание В: «Сегодня я пойду в театр». Складываем оба высказывания и получаем: «Сегодня я пойду в институт ИЛИ в театр». Это сложное высказывание обозначается так: А + В = С или (АВ) = С. Высказывание: «Деканом будет избран Петров или Иванов» - не является логической суммой, потому, что деканом будет только из них.

Логическая связка «не» обозначается знаком Ø. Применяются также связки «логическое следствие» (импликация) и «эвивалентность», обозначаемые соответственно ® и º.

Семантика логики высказываний часто близка к соответствующим высказываниям на естественном языке. Так, например семантика формул содержащих связки Ø и Ù практически совпадает со смыслом фраз содержащих слова «не» и «и».

Клод Шеннон впервые применил БА в теории цифровых машин. На идеях Буля основана классическая информатика. В квантовой информатике используются трёх - и многозначные (небулевы) логики.

Литература

Введение в булеву алгебру.

-Режим доступа : http://psi-logic. narod. ru/boo/boo. htm

7. Вектор состояния – элемент гильбертова пространства. Даёт полное описание замкнутой системы в выбранном базисе. Задается лучом гильбертова пространства. Вектор состояния принято обозначать по Дираку символом . Если какой-то набор данных, определяющих систему, обозначить буквой x, то вектор состояния будет иметь вид (читается «кет икс»). Любой ВС можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний:

.

Если измерение какой-либо физической величины A в состоянии приводит к определённому результату A1, в состоянии – к результату A2 и т. д., то измерение в состоянии приведёт соответственно к результату A1, A2 и т. д. с вероятностями |a1|2, |a2|2 и т. д.

Непрерывную функцию f(x) можно рассматривать как вектор в бесконечномерном гильбертовом пространстве с бесконечным числом измерений и компонент. В дираковских обозначениях: - вектор, - его компоненты.
См. также: Гильбертово пространство.

8. Векторное исчисление - раздел математики, в котором изучаются операции над векторами. Векторное исчисление включает векторную алгебру и векторный анализ. Правила векторной алгебры определяют действия над векторными величинами. Например, суммой векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что начало вектора b приложено к концу вектора a (правило треугольника). По такому правилу складываются, например, силы и скорости. Или (если начала векторов совпадают) строится параллелограмм на векторах a и b . Вектор суммы совпадает с диагональю параллелограмма, начало его совпадает с началом векторов-слагаемых (правило параллелограмма). В векторном исчислении установлены два способа умножения векторов: скалярный и векторный. В основе векторного анализа лежат правила дифференцирования и интегрирования векторных функций. Векторная функция - это функция, значениями которой являются векторы в векторном пространстве двух, трёх или более измерений. Аргументами векторной функции могут быть скалярные и векторные величины.

См. также: Векторное произведение, Скалярное произведение.

9. Векторное произведение (ВП) - это аксиальный вектор (псевдовектор),  являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. ВП вектора a на вектор b называется третий вектор c, который обладает следующими свойствами:

- модуль вектора c равен произведению модулей векторов-сомножителей на синус угла между ними: |c| = |a|∙|b| sin α.

- вектор c перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора a и b , а направление его определяется с помощью правила буравчика: если поворачивать буравчик от вектор a к вектору b , то направление движения буравчика укажет направление вектора c (говорят, что вектора a, b и c образуют правую тройку).

Векторное произведение обозначается квадратными скобками: c = [a×b].

 Свойства ВП:

- ВП произвольного вектора на нулевой вектор равно нулевому вектору;

- ВП двух коллинеарных (параллельных) векторов равно нулевому вектору;