См. также: Модуль сравнения, Норма вектора, Аксиома Архимеда, Дедекиндово сечение, Позиционная система счисления.

Литература

1. , p–Адическая математическая физика:

основные конструкции, применения к сложным и наноскопическим системам.

-Режим доступа: http://www. mi. ras. ru/~kozyrev/p-adicMF1.pdf

2. Владимиров B. C., , p-адический анализ и математическая физика. - М.: Физматлит, 1994. -354 с.

3. Что такое математическая физика? - М.: Препринт МИАН № НС-06/001, 2006. -19 с. –Режим доступа: http://www. mi. ras. ru/preprints/06_001.pdf

4. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. - М.: Мир, 1982. -192 с.

5. p-Адическая математическая физика:

основные идеи, применения (Материалы к докладу на семинаре в МФТИ), 2005. - Режим доступа:

http://mezhpr. fizteh. ru/arxiv/mezhpred/doklad3-arpe6m8wxh6.pdf

6. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.

-Режим доступа: http:///d. php? id=10256

7. http:///35364.html

33. Скалярное произведение - операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle, (\mathbf a, \mathbf b) , \mathbf a \cdot \mathbf b

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния): \langle a|b\rangle.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В евклидовом пространстве размерности n всегда можно выбрать ортонормированный базис {\mathbf e_1, \mathbf e_2,\dots,\mathbf e_n} , при разложении векторов по которому:

\mathbf a = a_1 \mathbf e_1 + a_2 \mathbf e_2 + \dots + a_n \mathbf e_n,

\mathbf b = b_1 \mathbf e_1 + b_2 \mathbf e_2 + \dots + b_n \mathbf e_n и т. д,

скалярное произведение будет выражаться следующей формулой:

Понятие скалярного произведения векторов можно обобщить на случай бесконечномерного векторного пространства, элементами которого являются комплексные функции. Скалярное произведение функций  f (x)  и  g (x) в этом случае можно представить в виде суммы:

.

34. Скобки Пуассона. Пусть имеется две функции координат, импульсов и времени: ƒ(p, q, t) и g(p, q, t). Тогда выражение

называется скобками (или скобкой) Пуассона. Поясним смысл этого понятия.

Составим полную производную по времени для функции ƒ(p, q, t):

. 

Подставив сюда вместо  и  их выражения из уравнений Гамильтона, получим

,

где введено обозначение .

Последнее выражение и называют скобками (или скобкой) Пуассона для величин H и ƒ.

Функции динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются интегралами движения. Условие того, чтобы величина ƒ была интегралом движения, можно записать в виде

,

так как в этом случае f = const и dƒ/dt = 0.

Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то , т. е. его скобка Пуассона с функцией Гамильтона обращается в нуль.

См. также: Уравнения Гамильтона.

35. Теория информации - математическая теория связи. Основоположник теории информации американский инженер и математик Клод Шеннон.   Эта наука лежит на границе информатики и прикладной математики (теории вероятностей, математической статистики). Как и любая математическая теория, оперирует с математическими моделями, а не с реальными физическими объектами (источниками и каналами связи). Шеннон определял информацию, как снятую неопределенность.

Shannon.jpg

Клод Шеннон  (1916 - 2001) – американский математик, инженер и криптограф, создатель теории информации

Снятие неопределенности означает выбор одного варианта из числа возможных, т. е. уменьшение количества рассматриваемых вариантов. Единицей информации является 1 бит. Количество информации (обозначается I) можно подсчитать по формуле Шеннона (1948):

,

где N – количество возможных событий, pi – вероятность i-го события.

Величина, характеризующая количество неопределенности, называется информационной энтропией, обозначается символом H.  Энтропия есть мера неопределенности. выражаемая в битах. По Шеннону, I + H = 1.

Количество информации I и энтропия H характеризуют одно и то же состояние, но с разных сторон. I – это количество информации, которое требуется для снятия неопределенности H. Когда неопределенность снята полностью, количество полученной информации I равно изначально существовавшей неопределенности H. При полном снятии неопределённости I и H рассчитываются по одинаковым формулам.

В общем случае H=f(N, P), где N – общее число вариантов, а P – априорная вероятность реализации каждого из них. Если все варианты равновероятны, то остаётся зависимость только от их числа H=f(N), вероятность Pi = 1/N, и формула Шеннона переходит в формулу, предложенную в 1928 г. американским учёным Ральфом Хартли:

H = log2N.

Hartley ralph-vinton-lyon-001.jpg .

Ральф Хартли (1888-1970) – американский инженер-электронщик

Согласно второму началу термодинамики, замкнутые (изолированные) системы, т. е. системы в отсутствие вещественного, энергетического и информационного обмена с внешней средой, стремятся к устойчивому равновесному состоянию с максимальной термодинамической энтропией.  Легко показать, что в этом случае информационная энтропия так же будет максимальна. Это значит, что в отсутствие информационного обмена система самопроизвольно «забывает» всю накопленную ранее информацию.

См. также: Вероятность.

36. Унитарное преобразование – преобразование нормированного пространства, при котором сохраняется норма вектора, а, значит, и скалярное произведение.

См. также: Гильбертово пространство, Норма вектора, Скалярное произведение.

37. Уравнения Гамильтона (канонические уравнения) – уравнения движения динамической системы. Это система линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

; .

Здесь qi и pi – обобщённые координаты и импульсы (точкой над q и p обозначена производная по времени t); H - функция Гамильтона - характеристическая функция механической системы, выраженная через канонические переменные (обобщенные координаты qi и обобщенные импульсы pi). Для системы со связями, явно не зависящими от времени t, движущейся в стационарном потенциальном силовом поле, функция Гамильтона H = H(qi, pi, t) = T +U, где  T –кинетическая, а U – потенциальная энергия системы (i = 1, 2, …, N). Для динамической системы, описываемой N обобщёнными координатами, cистема состоит из 2N уравнений. Совокупность координат и импульсов определяет состояние системы в данный момент времени (точку фазового пространства). Гамильтонова механика - это механика с использованием геометрии в фазовом пространстве, которое представляет собой пространство 6N измерений (где N - число материальных точек) объединяющих обычные пространственные координаты и импульсы частиц.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15