Уравнения Гамильтона широко используются в механике Гамильтона и других областях теоретической физики (оптика, квантовая механика) и математики.

38. Факторизация – разложение данного числа на простые множители. Например: 15 = 3∙5 или 357 = 3∙7∙17. Для больших чисел факторизация представляет собой чрезвычайно сложную задачу. На этом основаны многие криптографические системы. Вопрос о существовании алгоритма факторизации с полиномиальной сложностью на классическом компьютере является одной из важных открытых проблем современной теории чисел. В то же время факторизация за полиномиальное время возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора - квантового алгоритма, позволяющего разложить число N за время O((log N)3), затратив O(log N) места.

См. также: Алгоритм, Алгоритм Шора.

39. Формула Муавра – см. Комплексные числа.

40. Формула Эйлера – формула, связывающая комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x,

где  x – любое действительное число; 

i – мнимая единица;

e - основание натурального логарифма.

.Формула Эйлера впервые была получена английским математиком  Роджером Котсом (1714), записавшим её в логарифмической форме:

: ~\ln(\cos x+i\sin x)=i x.

Леонард Эйлер записал формулу в её привычном виде (1740) и опубликовал в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). Доказательство формулы основано на равенстве бесконечных разложений в ряд Тейлора её правой и левой частей.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

e^{ix} = 1 + \frac{ix}{1!} + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \ldots=\left(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots\right) + i\left(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots\right)

1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots=\cos x

\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sin x

Поэтому

 ~e^{ix}=\cos x + i\sin x .

См. также: Комплексные числа.

41. Функциональный анализ – раздел высшей математики, изучающий бесконечномерные пространства и их отображения. Основные понятия функционального анализа сформулированы в работах немецких математиков Георга Кантора и Давида Гильберта. Георг Кантор считается также основателем теории множеств.

Георг Кантор (1845-1918) – немецкий математик, создатель теории множеств

По Кантору множество - это объединение определённых, различных объектов, называемых элементами множества, в единое целое. Бертран Рассел дал такое определение: множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое.

Множество всевозможных систем (x1, x2, …, xn) действительных (или комплексных) чисел называется n-мерным действительным (или комплексным) пространством. Натуральные числа, целые числа и рациональные числа образуют бесконечные счётные множества, т. е. множества, элементы которых можно пронумеровать. Кантор доказал, что множество вещественных чисел не является счётным. Это было первым результатом в теории множеств. Другим важным результатом Кантора был ответ на вопрос: существует ли между множествами рациональных чисел и вещественных чисел какое-то множество, которое не является ни счётным, ни имеющим мощность континуума (мощность множества вещественных чисел)? Если мы считаем, что таких подмножеств нет, то получаем одну теорию множеств, а если считаем, что есть, то другую (сравните с 5-м постулатом Евклида и созданием неевклидовой геометрии). Теория множеств является основой многих разделов математики - общей топологии, общей алгебры, функционального анализа.

Среди абстрактных пространств особенно важными являются линейные функциональные пространства, т. е. линейные пространства, элементами которых являются функции (отсюда название этой науки - функциональный анализ). Развитие функционального анализа как самостоятельного раздела математики совпало с появлением квантовой физики и теории относительности (конец 19-го – начало 20-го века). Выяснилось, что язык функционального анализа адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т. п. В свою очередь эти физические теории оказали большое влияние на проблематику и методы функционального анализа.

В работах Дж. Неймана и М. Стоуна была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве - основной язык современной квантовой механики.

См. также: Гильбертово пространство, Оператор, Числовые поля и кольца.

42. Числовые кольца и поля – числовые множества, элементы которых удовлетворяют некоторым требованиям.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5 … В нём всегда выполнимы два основных алгебраических действия - сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа m и n, сумма их  (m + n) , а также произведение m ∙ n являются обязательно натуральными числами. Сложение и умножение подчиняются следующим законам.

1) Коммутативный закон сложения:  

m + n = n + m;

2) Ассоциативный закон сложения:

(m + n) + k = m + (n + k );

3) Коммутативный закон умножения:

m ∙ n = n ∙ m;

4) Ассоциативный закон умножения:

(m ∙ n) ∙ k = m ∙ (n ∙ k );

5) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения:

(m + n) ∙ k = m ∙ k + n ∙ k.

Что касается вычитания и деления, то эти два действия в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда. Так, ни одна из разностей 3 - 5 и 2 - 2, а также, ни одно из частных 3 : 5 и 7 : 4 нельзя выразить никаким натуральным числом.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате такого расширения мы приходим к множеству всех целых чисел:

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.....

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом. Таким образом, множество всех целых чисел образует кольцо.

Расширив множество всех натуральных чисел до множества всех целых чисел, мы добились тем самым, что действие вычитания стало выполнимым всегда. Но деление по-прежнему осталось, вообще говоря, невыполнимым. Чтобы устранить этот пробел, нужно расширить и множество всех целых чисел. Сделать это можно путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел  вида m/n,  где т и п — произвольные целые числа и п ≠ 0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. В этом числовом множестве всегда выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль), причем первые два из них подчинены пяти основным законам сложения и умножения.

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем. Множество всех рациональных чисел является простейшим числовым полем.

Легко понять, что множество всех иррациональных чисел поля не образует. Действительно, любое из четырех действий (сложение, умножение, вычитание и деление) над иррациональными числами может привести к числу рациональному. Так, например,

√3 + (-√3) = 0,

√2 ∙ √2 = 2.

и т. д. Множество же всех действительных чисел образует поле. Действия сложения, умножения, вычитания и деления действительных чисел (кроме деления на нуль) не выводят нас за пределы множества действительных чисел, причем сложение и умножение подчинены пяти перечисленным выше законам.

Упражнения

1. Образует ли кольцо:

а)  множество всех чётных чисел;

б)  множество всех нечётных чисел;

в)  множество всех чисел, кратных некоторому числу р?

2. Образует ли поле:

а)  множество всех дробей со знаменателем 3;

б)  множество всех дробей,  знаменатели  которых есть целые степени числа 3?

Ответы: 1. а) Да; б) нет; в) да.  2. а) Нет; б) нет.

См. также: Функциональный анализ.

Литература

1. , Алгебра и элементар-

ные функции. - М.: Просвещение, 1967.

§ 242. Числовые поля. –Режим доступа: http://oldskola1.narod. ru/Kochetkov2/Kochetkov242.htm

2. Теория чисел. –М.: Просвещение, 1966.

-Режим доступа: http:///d. php? id=10256

Литература ко всем статьям

1. Анго Андре. Математика для электро - и радиоинженеров.

- М.: Наука, 1967. -780 с. (и более поздние издания).

-Режим доступа: http://rutracker. org/forum/viewtopic. php? t=2427857

2. Математический аппарат физики. - М: Наука, 1968 с. (и более поздние издания).

-Режим доступа: http:///d. php? id=10416

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

КВАНТОВОЙ ИНФОРМАТИКИ

Учебный словарь-справочник

Авторская редакция

Технический редактор:

Компьютерная вёрстка:

Корректор:

Подписано в печать 30.11.2013 г. Формат 60×90/16.

Гарнитура Times New Roman. Усл. п. л. 3,69.

Тираж 200 экз. Заказ № 000.

Адрес издательства:

Россия, 180004, г. Псков, , корп. 3а,

Издательство ПсковГУ.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15