Зміст (стр. 10 )

Проекцією вектора АВ на вісь u називається величина А’В’ напрямленого відрізка А’В’ на осі и, де А’ — проекція точки А на вісь и , а В’ — проекція точки В на цю вісь. Позначення: прu АВ.

 

Проекція вектора АВ на вісь и визначається формулою

при АВ = ½АВ½соs j, (1)

де j — кут між вектором АВ і віссю_й.

Нехай Х = прх АВ, Y = npу AB, Z =прz АВ. Проекції Х, Y. Z вектора АВ на осі координат називають його координатами. При цьому пишуть: AВ = {Х; У; Z}.

Які б не були дві крапки А (х1; у1; z1) і В (х2;у2 ; z2) , координати вектора АВ визначаються наступними формулами:

Х=х2 – х1, У=у2 – у1, Z = z2 – z1, (2)

Нехай даний довільний вектор а = {Х; У; Z}. Формула

ú аú = (3)

Рис.31

виражає довжину довільного вектора через його координати. Позначимо через a, b, g кути між вектором а й осями координат (рис. 31).

З формул (1) і (3) одержуємо:

соs a = , соs b = , cos g = (4)

соs a, соs b , соs g називаються напрямними косинусами вектора а.

Підносячи до квадрата ліву й праву частини кожного з рівностей (4) і підсумовуючи отримані результати, маємо: cоs2 a + соs2 b + соs2 g =1, (5)

тобто сума квадратів напрямних косинусів будь-якого вектора дорівнює 1.

4.3. Лінійні операції над векторами. Розкладання вектора за базисом

Лінійними операціями над векторами називаються операції додавання й віднімання векторів і множення векторів на числа.

Сумою а + b двох векторів а й b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b за умови, що вектор b прикладений до кінця вектора а (правило трикутника) (рис. 32, а).

Різницею b - а двох векторів b й a називається вектор, що у сумі з вектором а дає вектор b ( рис. 32, б).

Добутком λа ( а ≠ 0 і число λ ≠ 0) називається вектор, що колінеарен до вектору а, має довжину, рівну │λ││а│, і такий напрямок, як і вектор а, якщо λ>0, і протилежний, якщо λ<0 (рис.33).

Рис. 32	Рис. 33

 

На рис. 33 зображений випадок ½λ½ > 1.

Якщо λ = 0 або а = 0, то добуток λ а вважається рівним нульовому вектору.

Мають місце наступні дві основні теореми про проекції векторів.

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь, тобто при (а1 +а2) = при а1 + при а2.

Наслідок. Якщо а ={Х,; У1 ; Z1) і b = (Х2 ;У2 ; Z2), то а+b = {X1+X2;Y1+Y2;Z1+Z2 }

Теорема. При множенні вектора а на число λ його проекція на вісь також множиться на це число, тобто при λа = λ приа.

Наслідок. Якщо а ={Х; В; Z), то λа ={λХ; λУ;λZ} для будь-якого числа λ.

Ознакою колінеарності двох векторів а = {Х1;У1;Z,), b = (Х2;У2;Z2} є пропорційність їх координат.

.

Нехай вектори i, j, k — одиничні вектори, тобто l i l = l j l = l k l = 1, вектор i лежить на осі Ох, вектор j— на осі Оу, вектор k — на осі Oz u кожний з них спрямований на своїй вісі в додатньому напряму. Трійка векторів i , j , k називається базисом.

Будь-який вектор а может быть разложен по базису i , j , k, тобто представлений у вигляді: а = Xi + Yj + Zk, где Х, Y, Z – координаты вектора а.

4.4. Скалярний добуток векторів

Рис.34

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів а й b називається число (скаляр), яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один з векторів нульовий, то кут не визначений і скалярний добуток за визначенням дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів a і b позначають .