Зміст (стр. 7 )

У наступних главах ми докладно вивчимо криву першого порядку (пряму лінію) і розглянемо найважливіші представники кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола).

3.2. Пряма лінія

3.2.1. Рівняння прямої

Рис.17

Нехай РQ – деяка пряма на площині Оху (рис. 17). Через довільну точку . Цій прямій (умовно названій «початковою точкою») проведемо пряму , паралельну вісі Ох й, що має з нею однаковий напрям. Тоді найменший невід’ємний кут φ =Ð Q , (0 ≤ φ < π), утворений напівпрямою М0Q, що лежить вище вісі або співпадаючої з нею, з віссю , називається кутом між даною прямою й віссю Ох.

Очевидно, цей кут не залежить від вибору точки . Якщо пряма PQ перетинає вісь Ох у деякій точці А (а, 0), To φ є звичайний кут між спрямованими прямими. Якщо PQ ║Ox, то, мабуть, φ = 0. Початкова точка М0 прямої та кут φ («напрямок прямої») однозначно визначають положення цієї прямої на площині.

1)  Нехай спочатку 0 ≤ φ< π/2. Тоді пряма PQ перетинає вісь Оу в деякій точці В (0,b), яку можна прийняти за початкову.

Ордината y = NM поточної точки М (х, у) прямої (рис. 18) складається із двох частин:

У = NС + СМ, (1)

з яких перша постійна, а друга змінна. Введемо кутовий коефіцієнт tg φ= k, з рис. 18 будемо мати

NC = b і CM = BC tgφ = kx (2) при х ≥ 0.

Таким чином,

y=b + kx (3) при х ≥ 0.

Неважко перевірити, що формула (3) залишається справедливою також і при х < 0.

Ми довели, що координати будь-якої точки М (х, у) прямої PQ задовільняють рівнянню (3). Легко переконатися у оберененому: якщо координати будь-якої точки М1 (х1, у1) задовільняють рівнянню (3), то точка М1 обов'язково лежить на прямій PQ. Отже, рівняння (3) являє собою рівняння прямої лінії PQ (так зване рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом). Постійні величини b і k (параметри) мають наступні значення: b = ОВ — початковий відрізок (точніше, початкова ордината) і k= tgφ - кутовий коефіцієнт.

Рис.18

Зазначимо, що якщо точка В розташована вище вісі Ох, то b > 0, а якщо нижче, то, b <0. При b = 0 пряма проходить через початок координат і рівняння такої прямої є y = kx (4)

При k = 0 одержуємо рівняння прямої, паралельної вісі Ох: у = b.

2) Якщо π∕2 ‹ φ ‹ π , то за допомогою аналогічних міркувань ми приходимо до рівняння (3).

3) Якщо φ = π∕2 , тобто пряма АВ перпендикулярна вісі Ох, то її рівняння є х = а, (5)

де а – абсциса сліду тієї прямої на вісі Ох (тобто її точки перетину з віссю Ох).

Зауваження. Як окремі випадки, одержуємо рівняння осей координат:

у = 0 (вісь Ох) і х = 0 (вісь Oу). (6)

Пряму легко побудувати за її рівнянням.

Для довільної прямої на площині можна скласти її рівняння; обернено, знаючи рівняння деякої прямої, можна побудувати цю пряму. Таким чином, рівняння прямої повністю характеризує її положення на площині.

З формул (3) і (5) видно, що рівняння прямої є рівнянням першого ступеня щодо поточних координат х і у. Справедливо й обернене твердження.

Теорема. Усяке невироджене рівняння першого ступеня

Ах + Ву + С = 0 (А2 + В2 ≠ О) (7)

являє собою рівняння деякої прямої лінії на площині Оху (загальне рівняння прямої лінії).

3.2.2. Кут між двома прямими

Розглянемо дві прямі (не паралельні вісі Оу), задані їх рівняннями з кутовими коефіцієнтами (рис. 19):

Y = kx + b, де kx = tgφ (1)

Рис.19

у = k’х + Ь’, де k’ = tgφ΄. (2)

Потрібно визначити кут Θ між ними. Точніше, під

кутом Θ ми будемо розуміти найменший кут, рахуючи проти ходу годинникової стрілки, на якій друга пряма повернена щодо першої (0 ≤ Θ < π ). Цей кут Θ (рис. 19) дорівнює куту АСВ трикутника АВС.

Далі, з елементарної геометрії відомо, що зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх, з ним не суміжних. Тому φ΄= φ + Θ, або Θ = φ΄ - φ; звідси на підставі відомої формули тригонометрії одержуємо

Замінюючи tgφ і tgφ΄ відповідно на k й k’, остаточно будемо мати

(З)

Формула (З) виражає тангенс кута між двома прямими через кутові коефіцієнти цих прямих.

Виведемо тепер умови паралельності й перпендикулярності двох прямих.

Якщо прямі (1) і (2) паралельні, тo φ΄ =φ і, відповідно,

k’ = k. (4)

Обернено, якщо виконано умову (4), то, з огляду на те, що φ΄u φ лежать в границях від 0 до π, одержуємо

φ΄ =φ , (5)

І, отже, розглянуті прямі або паралельні, або зливаються (паралельність у широкому розумінні).

Правило 1. Прямі на площині паралельні (у широкому розумінні) тоді й тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти рівні між собою.

Якщо прямі перпендикулярні, то Θ = л/2 й, отже,

звідси 1+ kk’ = 0 u k’= - 1⁄k. (6).

Справедливо також і обернене твердження.

Правило 2. Дві прямі на площині перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх кутові коефіцієнти обернені за величиною й протилежні за знаком*.

Нехай тепер рівняння прямих задано в загальному вигляді:

Ах+Ву+С=0 (7)
(8)
Звідси, припускаючи, що В ≠ 0 й ≠ 0, одержуємо
(7’)
і

(8’)

Отже, кутові коефіцієнти цих прямих є

(9)

З формули (3) знаходимо тангенс кута між цими прямими:

(10)

Звідси одержуємо: 1) умова паралельності прямих (Θ = 0)

(11)

2) умова перпендикулярності прямих (Θ = πІ2)

АА’ + ВВ’ = 0 (12)

Відзначимо, зокрема, що прямі

Ах + Ву + С = 0 і Вх – Ау + С1 = 0

взаємно перпендикулярні.

*Для прямих, паралельних вісям Ох й Оу, умовно зазначають 1/0=∞ і 1/∞=0,

3.2.З. Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку

Нехай пряма РМ утворює кут φ з додатнім напрямом вісі Ох (рис. 20) і проходить через задану точку Р(х1, у1). Виведемо рівняння цієї прямої, припускаючи спочатку, що пряма не паралельна вісі Оу.

У цьому випадку, як ми бачили, рівняння прямої має вигляд у = kх + Ь, (1)

де k = tgφ - кутовий коефіцієнт прямій, а Ь - довжина

відрізка, що відтинає наша пряма на вісі Оу. Тому що

Рис.20

точка Р (х1, у1) лежить на прямій РМ, то її координати

х1 й у1 повинні задовільняти рівнянню (1), тобто

у1 = kх1 + Ь (2)

Віднімаючи з рівності (1) рівність (2), одержимо у – у1 = k(х-х1 ) (3)

Це і є рівняння шуканої прямої.

Якщо пряма, що проходить через точку Р (х1, у1), паралельна вісі Оу, то її рівняння, очевидно, буде

x = х1 (4)

Якщо k – задане число, то рівняння (З) представляє цілком певну пряму. Якщо ж k – змінний параметр, то це рівняння визначить пучок прямих, що проходять через точку Р (х1, у1) (рис. 21); при цьому k називається параметром пучка.