Зміст (стр. 6 )

аbс= (а х b ) • с.

Справедливі наступні основні властивості змішаного добутку.

1) Змішаний добуток не змінюється при циклічній перестановці його співмножників, тобто аbс = bса = саb.

Дійсно, в цьому випадку не змінюється ні об'єм паралелепіпеда, ні орієнтація його ребер.

2) При перестановці двох сусідніх множників змішаний добуток змінює свій знак на протилежний, тобто bас = асb = сba = - аbс.

Це виходить з того, що перестановка сусідніх множників, зберігаючи об'єм паралелепіпеда, змінює орієнтацію трійки векторів, тобто права трійка переходить у ліву, а ліва - у праву. За допомогою змішаного добутку отримуємо необхідну й достатню умову компланарності трьох векторів а, b, с: abc = 0 (об'єм паралелепіпеда дорівнює нулю).

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ

3.1. Рівняння лінії

3.1.1. Метод координат на площині

Розділ математики, що займається вивченням властивостей геометричних фігур за допомогою алгебри, називається аналітичною геометрією, а використання для цієї мети координат називається методом координат.

Рис.14

Тепер ми перейдемо до викладання того, як в аналітичній геометрії вирішується загальна задача, що складається в дослідженні методами математичного аналізу форми, розташування й властивостей даної лінії. Нехай ми маємо деяку лінію на площині. (рис. 14). Координати х та у точки, що лежить на цій лінії, не можуть бути цілком довільними; вони повинні бути підлеглі відомим обграницьенням, обумовленим геометричними властивостями даної лінії.

Той факт, що числа х та у є координатами точки, що лежить на даній лінії, аналітично записується у вигляді деякого рівняння. Це рівняння називається рівнянням лінії на площині.

Сутність методу координат на площині полягає в тому, що будь-якій плоскій лінії відповідає її рівняння, а потім властивості цієї лінії вивчаються шляхом аналітичного дослідження відповідного рівняння.

3.1.2. Лінія як множина точок

Лінія на площині звичайно задається як множина точок, що мають деякі геометричні властивості, винятково їм властивими.

Приклад 1. Коло радіуса R (puc. 15) є множина всіх точок площини, вилучених на відстані R від деякої її точки О (центр кола).

Рис.16

 

Іншими словами, на колі розташовані ті й тільки ті точки, відстань яких від центра кола дорівнює його радіусу.

Приклад 2. Бісектриса кута АВС (рис. 16) є множина всіх точок, що лежать усередині кута й равновдалених від його сторін.

Цим стверджується, що: 1) для кожної точки М, що лежить на бісектрисі BD, довжини перпендикулярів МР й MQ, опущених відповідно на сторони ВА й ВС кута, рівні між собою: MP=MQ, і 2) будь-яка точка, що перебуває усередині кута АВС і яка не лежить на його бісектрисі, буде ближче до однієї сторони кута, ніж до іншої.

3.1.3. Рівняння лінії на площині

Сформулюємо тепер точніше означення рівняння лінії на площині.

Означення. Рівнянням лінії (рівнянням кривої) на площині Оху називається рівняння, якому задовільняють координати х і у кожної точки даної лінії й не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій лінії.

Таким чином, для того щоб встановити, що дане рівняння є рівнянням деякої лінії К, необхідно й достатньо: 1) довести, що координати будь-якої точки, що лежить на лінії К, задовільняють цьому рівнянню, і 2) довести, обернене, що якщо координати деякої точки задовільняють цьому рівнянню, то точка обов'язково лежить на лінії К.

Звідси вже автоматично буде випливати, що: 1’) якщо координати будь-якої точки не задовільняють даному рівнянню, то ця точка не лежить на лінії К, 2’) якщо точка не лежить на лінії К, то її координати не задовільняють даному рівнянню.

Якщо точка М (х, у) рухається по лінії К, то її координати х і у, змінюючись, увесь час задовільняють рівнянню цієї кривої. Тому координати точки М(х, у) називаються поточними координамами точки лінії К.

На площині Оху поточні координати точки М даної кривої К звичайно позначаються через х і у, причому перша з них є абсциса точки М, а друга – її ордината. Однак, якщо це доцільно, то поточні координати точки М можна позначати будь-якими буквами, наприклад, М (X, Y), і т. д. Так, наприклад, рівняння у =2х й У = 2Х, де крапки N(x, y) і N(X, Y) розташовані на площині Оху, являють собою рівняння однієї й тієї ж прямої на цій площині.

Основне поняття аналітичної геометрії – рівняння лінії.

3.1.4. Побудова лінії за її рівнянням

Якщо змінні х та у зв'язані деяким рівнянням, то множина точок М (х, у), координати яких задовільняють цьому рівнянню, являє собою, загалом кажучи, деяку лінію на площині («геометричний образ рівняння»).

В окремих випадках ця лінія може вироджуватися в одну або кілька точок. Можливі також випадки, коли рівнянню не відповідає жодна множина точок.

Наприклад, рівнянню (х -1)2 + (у - 2)2 = 0, відповідає єдина точка (1, 2), тому що цьому рівнянню задовільняє єдина пара значень х = 1 і у = 2.

Рівнянню x2 + y2 = -1 не відповідає жодна множина точок, тому що цьому рівнянню не можуть задовільнити жодні дійсні значення х і у.

Знаючи рівняння лінії, можна по точках побудувати цю лінію.

3.1.5. Деякі елементарні задачі

Якщо відомо рівняння лінії, то легко можуть бути вирішені найпростіші задачі, пов'язані з розташуванням цієї лінії на площині.

Задача 1. Задано рівняння лінії К і координати точки М (а, Ь). Визначити, чи лежить точка М на лінії К чи ні?

Іншими словами, потрібно довідатися, чи проходить лінія К через точку М або не проходить.

На підставі поняття рівняння лінії одержуємо правило: щоб визначити, чи лежить точка М на даній лінії К, потрібно в рівняння цієї лінії підставити координати нашої точки. Якщо при цьому рівняння задовільниться (тобто в результаті підстановки вийде тотожність), то точка лежить на лінії; в іншому випадку, якщо координати точки не задовільняють рівнянню лінії, дана точка не лежить на лінії.

В окремому випадку лінія проходить через початок координат тоді й тільки тоді, коли рівняння лінії задовільняється при x = 0 й у = 0.

3адача 2. Знайти точку перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.

Точка перетину одночасно перебуває як на першій лінії, так і на другій. Отже, координати цієї точки задовільняють рівнянням обох ліній. Звідси одержуємо правило: щоб знайтu координати точки перетину двох ліній, досить спільно вирішити систему їх рівнянь. Якщо ця система не має дійсних розв’язків, то лінії не перетинаються.

Задача 3. Знайти точки перетину даної лінії з осями координат.

Ця задача є окремим випадком задачі 2.

З огляду на те, що рівняння вісі Ох є у = 0, одержуємо правило: щоб знайтu абсциси точок nеретину даної лінії з віссю Ох, потрібно в рівнянні цієї лінії покласти у = 0 і розв’язати одержане рівняння відносно х.

Аналогічно, тому що рівняння вісі Оу є x = 0, то одержуємо правило: щоб знайти ординати точок перетину даної лінії з віссю Оу, потрібно в рівнянні цієї лінії покласти x = 0 і розв’язати одержане рівняння відносно у.

3.1.6. Дві основні задачі аналітичної геометрії на площині

Виникають дві основні задачі аналітичної геометрії на площині.

1) Дано лінію, яка розглядається як множина точок. Скласти рівняння цієї лінії.

2)  Дано рівняння деякої лінії. Вивчити по цьому рівнянню її геометричні властивості (форму й розташування).

3.1.7. Алгебраїчні лінії

Означення. Лінія називається лінією (або кривою) n-го порядку (n = 1, 2, . .), якщо вона визначається рівнянням n-го ступеня щодо поточних прямокутних координат.

Такі лінії називаються алгебраїчними. Наприклад, лінії

х + у – 1 = 0, х2 + у2 = І, х3 + у3 - З х у = 0

є кривими відповідно першого, другого й третього порядку.

Загальний вид кривих першого порядку є Ах + Ву + С = 0,

де коефіцієнти А і В не дорівнюють нулю одночасно, тобто . Як буде доведено нижче, всі криві першого порядку - прямі лінії.

Загальний вид кривих другого порядку наступний: Ах2+Вху+Су2+Dх+Еу+F = 0,

де коефіцієнти А, В і С не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2+В2+С2 ≠ 0.

Зазначимо, що не кожному рівнянню другого порядку відповідає дійсна крива. Наприклад, рівнянню х2 + 2ху + у2 +1 = 0 не відповідає жодна крива на площині Оху, тому що, мабуть, немає дійсних чисел х і у, що задовільняють цьому рівнянню.