Зміст (стр. 15 )

 

Означення 3.

Під окілом символу -¥ розуміється будь-який інтервал (-¥, a), а під окілом символу +¥ розуміється будь-який інтервал (b, +¥). Звідси формули:

Зауваження. Для існування границі функції f (х) при x ® а (а - число) необхідно й достатньо виконання рівності

f (a + 0) = f (a - 0).

Приклад:

Нехай (рис. 59). Маємо

6.6. Нескінченно малі

Означення. Послідовність { аn } називається нескінченно малою, якщо для будь-якого додатнього числа e починаючи з деякого значення n буде виконуватися нерівність: | аn | < e.

Властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

Наслідки:

1.  Тому що збіжна послідовність є обмеженою, то добуток збіжної послідовності на нескінченно малу послідовність є нескінченно мала послідовність.

2.  Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Теорема. Щоб послідовність {хn}мала границею число а, необхідно й достатньо, щоб виконувалося хn = а + аn, де {аn} - нескінченно мала послідовність.

Для того, щоб послідовність {хn} збігалася до числа а, необхідно й достатньо, щоб послідовність {хn - а} була нескінченно малою.

Порівняння нескінченно малих

Означення. Функція називається нескінченно малою при х ® а, якщо .

Нехай ((х) і ((х) - дві нескінченно малі функції при х ® а. Тоді:

називається нескінченно малою більш високого порядку малості відносно ;

називаються нескінченно малими одного порядку;

називаються еквівалентними нескінченно малими.

Еквівалентність позначається a(х) ~ b(х) при х®а;

Аналогічні означення мають місце для випадків х ® а -; х® а+; х ® -¥; х® ¥. При порівнянні нескінченно малих функцій часто використовують символ о («о мале»).

Якщо функція a(х) у точці а – нескінченно мала більш високого порядку, ніж нескінченно мала b(х) у цій же точці, то умовно записують так: a(х)=о(b(х)). Наприклад: х = о (х) при х® 0.

6.7. Нескінченно великі

Означення. Функція f (х) називається нескінченно великою при х®а (а – число або символ ¥): f (х) ® ¥ при х ® а, якщо для будь-якого Е > 0 існує такий окіл Uа точки а, що

| f (х) | > Е при х Î Uа

для всіх припустимих значень аргументу х.

Якщо функція f (х) – нескінченно велика при х ® а, то умовно пишуть .

Лема. 1) Якщо f (х) ® ¥ при х ® а, то 1/f (х) ® 0 при х ® а;

2) Якщо a (х) ® 0 при х ® а (a (х) ¹ 0 для х ¹ а), то 1/a(х) ® ¥ при х ® а.

Зауваження. Необмежена функція може не бути нескінченно великою. Наприклад, функція не обмежена в будь-якому окілу точки х = 0, однак вона не є нескінченно великою при х ® 0.

6.8. Основні теореми про границі

Теорема. Якщо кожен доданок алгебраїчної суми кінцевого числа функцій має границю при х ®а, то границя цієї алгебраїчної суми при х ®а існує й дорівнює такій же алгебраїчній сумі границь доданків.

Наслідок. Функція може мати тільки одну границю при х®а.

Теорема. Якщо кожен зі співмножників добутку кінцевого числа функцій має границю при х ®а, то границя добутку при х ®а дорівнює добутку границь співмножників.

Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак границі. Якщо С є постійна функція, то

Наслідок. Якщо функція f(х) має границю при х ® а, то границя при х ® а цілого додатнього ступеня її дорівнює такого ж ступеню границі цієї функції, тобто

Теорема. Якщо функція f(х) має границю при х → а, відмінну від нуля, то границя при х → а оберненої до неї функції 1/f(х) дорівнює оберненій величині границі даної функції, тобто

Теорема. Якщо ділене f(х) і дільник g(х) мають границі при х ®а і границя дільника відмінна від нуля, то границя їхньої частки (дробу) при х®а дорівнює частці границь діленого (чисельника дробу) і дільника (знаменника дробу), тобто

Теорема. Якщо функція f(х) має границю при х → а і (n – натуральне) існує в точці а і у деякіому її окілу U а, то

6.9. Деякі ознаки існування границі функції

Не кожна функція має границю, навіть будучи обмеженою. Наприклад, sin x при х→∞ границі не має, хоча |sin x| ≤ 1.

Вкажемо дві ознаки існування границі функції.

Рис.60

Теорема (про проміжну функцію).

Нехай у деякому окілу U а точки а функція f(х) укладена між двома функціями j(x) і y(x), що мають однакову границю А при х ® а (рис. 60), тобто

, і

Тоді функція f(х) має ту ж границю:

Означення.

·  Функція f(х) називається зростаючою (не спалною) на даній множині Х, якщо з нерівності х1<х2 (х1, х2 Î Х) випливає нерівність f(х1)<f(х2) (відповідно f(х1)£f(х2)).

·  Функція f (х) називається спадною (не зростаючою) на Х, якщо з нерівності х1<х2 (х1 ,х2 Î Х) випливає нерівність f(х1)>f(х2) (відповідно f(х1)³f (х2)).

Зростаюча (не спадна) або спадна (не зростаюча) функція називається монотонною на даній множині Х.

Теорема. Нехай функція f(х) монотонна й обмежена при х<а або при х>а.

Тоді існує відповідно ліва границя:

або права границя:

Зауваження. Аналогічне твердження виконується для а = - ¥ або а = +¥.

Наслідок. Обмежена монотонно зростаюча або монотонно спадна послідовність хn ( n = 1, 2, ...) має границю.