Зміст (стр. 12 )

a b

Записується так: [a, b).

Множина всіх дійсних чисел розглядається як інтервал (-∞;+∞). Знаки не є числами.

Напівінтервал (-∞;b] є множина всіх дійсних чисел х ≤ b.

Напівсегмент [а;+∞) є множина всіх дійсних чисел х ≥ a.

5.2. Парні й непарні функції

Означення. Функція f (x), задана на симетричному відносно початку координат проміжку, називається парною, якщо для будь-якого значення х із цього проміжку має місце рівність: f (-x) = f (x).

Графік парної функції симетричний відносно вісі Оу.

Означення. Функція f (x), задана на симетричному відносно початку координат проміжку, називається непарною, якщо для будь-якого значення х із цього проміжку має місце рівність f (-x) = - f (x).

Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

Сума й різниця двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна). Дійсно, нехай φ (x) = f (x) + g (x), тоді φ (-x) = f (-x) + g (-x) = f (x) + g (x) = φ (x).

Якщо ж f (x) і g (x) - непарні, то φ (x) - непарна:

φ (-x) = f (-x) + g (-x) = - f (x) – g (x) = - [f (x) + +g (x)] = = -φ (x).

Аналогічне доведення для різниці функцій.

Добуток двох парних або двох непарних функцій є функція парна, а добуток парної функції на непарну є непарна функція. Справді, нехай

φ (х) = f(х) · g(х) – четные функции, тогда φ (-х) = f (-х) · g (-х) = f (х) · g (х) = φ (х).

Якщо f (x) і g (x) - непарні функції, то φ (-x) = f (-х) g (-х) = [-f (х)] [ - g (х)] = φ (х).

Якщо ж f (х) - парна, а g (х) – непарна функція, то

φ (-x) = f (-x) g(-x) = f (x) [-g(x)] = - φ (x).

5.3. Періодична функція

Означення. Функція f (х) називається періодичною, якщо існує число Т ≠ 0, таке, що для будь-якого значення х з області визначення функції виконується рівність: f (x+T) = f (x).

Число Т – називається періодом функції.

Якщо Т - період функції, то її періодом є також і число Т, тому що

f(x - T) = f [(x - T) + T] = f(x).

Звичайно під періодом функції розуміють найменший з додатніх періодів, якщо такий період існує. Наприклад, періодом функції sin x й cos x є число T = 2π:

sin (x + 2 π) = sin x

cos (x + 2 π) = cos x, а функцією tg x й ctg x - число Т = π.

Якщо Т - період функції, то її періодом буде також і число k, де k - будь-яке ціле число (k = ±1 , ±2...).

5.4. Найпростіші функціональні залежності

1. Пряма пропорційна залежність.

Означення. Дві змінні величини називаються прямо пропорційними, якщо при зміні однієї з них у деякому відношенні, інша змінюється в том ж відношенні. (наприклад: довжина кола і його радіус).

Рис.36

Функція називається однорідною лінійною функцією; її графіком є пряма лінія, що проходить через початки координат з кутовим коефіцієнтом k (y = kx) (Рис.36).

2.  Лінійна залежність.

Означення. Дві змінні величини х и в зв'язані лінійною залежністю, якщо у = у0 + kx, де k, у0 – постійні величини. (наприклад: довжина стрижня і його температура).

Рис.37

Функція називається лінійною; її графіком є пряма лінія із початковим відрізком у0 і кутовим коефіцієнтом k. (Рис.37)

3.  Обернена пропорційна залежність.

Рис.38

Означення. Дві змінні величини називаються обернено пропорційними, якщо при зміні однієї з них у деякому відношенні інша змінюється у зворотному відношенні. (наприклад: швидкість рівномірного руху й час, необхідний для подолання). Графік має вигляд гіперболи у = k/x, якщо k < 0, то гіпербола розташована в II й IV квадрантах. (Рис.38)

4.  Квадратична залежність.

Графіком функції є парабола. Квадратична залежність має вигляд у = kx2.

Рис.39

Якщо k > 0, то парабола розташована вище осі Ох, якщо k < 0, то нижче осі Ох. (наприклад: площа кругу й радіус кола; шлях, пройдений тілом при вільному падінні, і час). (Рис.39)

5.  Синусоідна залежність.

Графіком функції є синусоїда. Має вигляд:

у = А sin (ωx + φ), де А - амплітуда, ω - частота, φ - початкова фаза.

Рис.40

Прикладами синусоїдальної залежності можуть служити: відхилення часток повітря від положення рівноваги при поширенні в ньому звукової хвилі постійної частоти й час; сила однофазного синусоїдального струму й час. (Рис.40)

5.5. Класифікація функції

1. Функція однієї або декількох змінних: z = f (x;у).

2. Алгебраїчні й транцедентні функції: у = f (x), f – це характеристика функції. Якщо f – це сукупність алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня й інших, то функцію називають алгебраїчною.

Приклад: 1) у = х2 – 5х + 6; 2) у = ; 3) у = .

Функції бувають:

- цілі раціональні;

- дробово - раціональні;

- ірраціональні.

Не алгебраїчна функція називається транцедентною: у = соs x, y = tg x.

Функції бувають:

-  зворотні:(arcsin, arccos...);

-  логарифмічні: (loga x);

-  показникові: (ax);

-  тригонометричні: (sin x, cos x...).

Явна функція у = х2, якщо вона задана формулою, права частина якої не містить залежної змінної.

Функція називається неявною, якщо задано рівнянням: f(x, y) = 0.

Наприклад: 2х + 2у + 1 = 0.

Функція y = f(x) дана у вигляді: x = φ (y), то цю функцію називають зворотньою.

Зворотна функція однозначної функції може бути багатозначною (рис. 41), тобто даному значенню у може відповідати кілька значень х1, х2, х3 ,...зворотної функції х = φ (у) (рис.42). У деяких випадках вдається зробити зворотну функцію однозначною, уводячи додаткові обграницьення на її можливі значення.

Рис.41	Рис.42

Способи задання функції:

1) таблиця; 2) графічно 3) аналітично 4) словіно

5.6. Графік функції

Оначення. Графіком функції у= f (x) називається множина всіх точок (х; у) площини Оху, координати яких пов'язані даною функціональною залежністю.

Графік функції - це лінія, рівнянням якої є рівність, що визначає функцію.

-  Якщо кожному значенню змінної х відповідає одне значення змінної у, то у – називають однозначною функцією від х;

-  Якщо хоча б деяким значенням змінної х відповідає декілька (два, три...) або нескінченна множина значеннь змінної у, то у – називають багатозначною (двузначной, тризначної) функцією від х.

Наприклад: у = х2 є однозначна функція від х. Також у = sin x – є однозначна функція від х. Функція у = ± є двузначная функція від х;

у = аrcsin x – є багатозначна (нескінченозначна) функція від х.

5.7. Основні графіки елементарних функцій

1. Степенева функція в = хn.

-  Якщо n ≥ 0 – то графіки функцій являють собою параболи відповідно нульових, першого, другого й т. д. порядків (рис. 43);

- 

Рис.43

Якщо n < 0 (n = -1,-2) – то графіки функцій являють собою гіперболи різних порядків (рис. 44).

2. Радикал в = .

Рис.45

Рис.44

Область визначення функції: -∞ < х < +∞ при n - парному, -∞ < х < +∞ при n – непарному. Тому що х = уn, те в = є зворотною функцією стосовно степеневої функції. Тому графіки при різних показниках n є параболи або їхні частини (рис. 45).