Зміст (стр. 4 )

2) сполучна властивість:

a + ( b + c) = ( a + b ) + c = a + b + c, тобто

Сума трьох (і більшого числа ) векторів не залежить від порядку розміщення дужок.

Рис.4

Для кожного вектора а = (рис. 5) існує протилежний вектор - а = , що має ту ж довжину, але протилежний напрямок.

 

За правилом паралелограма, очевидно, маємо: а + (-а) = 0, де 0 – нуль-вектор. Легко перевірити, що а + 0 = а.

2.3. Різниця векторів

Під різницею векторів а й b розуміється вектор d = a – b , такий що b + d = a. Відзначимо, що в паралелограмі, побудованому на даних векторах а й b, їхньою різницею є відповідно спрямована друга діагональ паралелограма (рис. 6).

 

Легко перевірити, що справедливо наступне правило вирахування:

а - b = a + (- b).

2.4. Множення вектора на скаляр

Означення. Добутком вектора а на скаляр k (рис. 7) називається вектор b = k a ≡ a k, який має довжину b = |k|a, та напрямок якого: 1) збігається з напрямком вектора а, якщо k > 0; 2) протилежний йому, якщо k < 0; 3) довільний, якщо k = 0.

Рис. 7

Неважко переконатися, що ця векторна операція має наступні властивості:

1)  ( k + l ) a = ka + la

2)  k ( a + b ) = ka + kb

3)  k ( la ) = (kl ) a

4)  1 x a = a, (-1)a = -a, 0 • a = 0, де ( k, l — скаляри).

Якщо ненульовий вектор а розділити на його довжину а =ïаï (тобто помножити на скаляр 1/а), то ми одержимо одиничний вектор e, так званий орт, того ж напрямку: е = а/а. Звідси маємо стандартну формулу вектора

a = ае. (1)

Формула (1) формально справедлива також і для нульового вектора а = 0, де а = 0 й e — довільний орт.

2.5. Колінеарні вектори

Означення. Два вектори а = й b = (рис. 8) називаються колінеарними, якщо вони паралельні в широкому змісті (тобто розташовані або на паралельних прямих, або ж на одній і тій же прямій).

Рис.8

Тому що напрямок нульового вектора довільний, то можна вважати, що нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору.

Теорема. Два ненульових вектори а й b колінеарні тоді й тільки тоді, коли вони пропорційні, тобто

b = ka (1)

(k — скаляр).

Якщо виконано рівність (1), то колінеарність векторів a й b безпосередньо випливає зі змісту множення векторів на скаляр.

2.6. Компланарні вектори

Означення. Три вектори а, b і с називаються компланарними, якщо вони паралельні деякій площині в широкому розумінні (тобто або паралельні площині, або лежать у ній).

Можна сказати також, що вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли після приведення їх до спільного початку вони лежать в одній площині.

За змістом означення трійка векторів, серед яких є хоча б один нульовий, компланарна.

Теорема. Три ненульових вектори а, b і с компланарні тоді й тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших, тобто, наприклад, с = k a + l b, ( k , l – скаляри).

2.7. Скалярний добуток векторів

Означення. Під скалярним добутком двох векторів а й b розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто у звичайних позначеннях:

a • b ≡ ( a, b ) = ab cosφ, де φ =Ð (а, b). (1)

Помітимо, що у формулі (1) скалярний добуток можна ще записувати як аb, опускаючи крапку. Тому що (рис.9)

b соs φ = прa b й а соs φ = прb а,

то можна записати

ab = а • прa b = b • прb a, (2)

тобто, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженій на проекцію іншого на вісь із напрямком першого.

Рис. 9 Рис.10

Фізичний зміст скалярного добутку. Нехай постійна сила F забезпечує прямолінійне переміщення s = матеріальної точки. Якщо сила F утворить кут φ с переміщенням s (рис. 10), то з фізики відомо, що робота сили F при переміщенні s дорівнює A = Fs cos φ.

На підставі формули (1) має

А = F × s, (3)

таким чином, робота постійної сили при прямолінійному переміщенні її точки прикладення дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення.

Скалярний добуток має наступні основні властивості:

1)  Скалярний добуток двох векторів не залежить від порядку їх множення (переставна властивість):

ab = ba (4)

Ця формула безпосередньо випливає з формули (1).

2) для трьох векторів a, b і с справедливо розподільна властивість

(а + b) • с = ас + bc, (5)

тобто, при скалярному множенні суми векторів на вектор можна «розкрити дужки».

Дійсно, на підставі формули (2), з огляду на властивості проекцій векторів, маємо

(a +b) • с = прс (а+b) • c = (прc a + прc b) • с = прcа • с + прc b • с = ас + bс.

3) Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату модуля цього вектора, тобто

а2 = а2.

дійсно,

а2 = аа = аа соs (а, а) = а2.

Звідси для модуля вектора одержуємо формулу

ïа ï = (6)

4) Скалярний множник можна виносити за знак скалярного добутку, тобто ( λa b) = (а, λb) = λ (а, b). (7)

Ця властивість також легко виходить із (1).

5) Скалярний добуток лінійної комбінації векторів на довільний вектор дорівнює такій же лінійній комбінації даних векторів на цей вектор, тобто

( λa + μb, с) = λ ( а, c) + μ (b , с), де ( λ і μ - скаляри).

Це - очевидний наслідок 2) і 4).

З означення (1) випливає, що косинус кута φ=(a,b) між двома ненульовими векторами а й b дорівнює