Зміст (стр. 13 )

3. Показникова функція у = ах, де а – постійне число, причому а > 0,

а ≠ 1. Функція має позитивне значення й зростає від 0 до +∞, при

а > 1, і убуває від +∞ до 0, при 0 < а < 1 (рис.46).

4. Логарифмічна функція:

у = loga х (а > 0, а ≠ 1). Область визначення: 0 < х < +∞.

З формули у = loga x маємо х = ау, то функція є зворотною стосовно показникової функції.

Тому графік логарифмічної функції за допомогою дзеркального відбиття відносно I - III координатних кутів (рис.47).

Рис.46 Рис.47

5. Тригонометричні функції:

У вищій математиці аргументом тригонометричної функції є число, яке можна розглядати як міру відповідного кута, вираженого в радіанах.

5.8. Важливі тригонометричні функції

а) у = sin x – функція визначена для всіх значень х. Функція sin x - обмежена

(|sin x| ≤ 1) і періодична з періодом 2 π. Графіком її служить синусоїда (рис.48).

Рис.48

б) у = соs x - функція має подібні властивості з функцією sin x. Графік її - косинусоида, що представляє собою синусоїду, зрушену вліво на π /2 (мал.14).

Дійсно, соs х = sin (x + π /2).

в) у = tg x – функція визначена при

(k = 0, ± 1, ±2,....); має період π.

Графік функції - тангенсоїда (рис. 49).

Рис.49

г) у = ctg x - функція визначена при x ≠ kπ

(k = 0, ±1, ±2,...); має період π .

Графік функції – котангенсоїда (рис. 49).

6. Обернені тригонометричні функції:

а) y = arcsin x, тобто в є дуга, узята в границях

–π/2 ≤ у ≤ π/2, синус якої дорівнює х: sin y = x (головне значення).

Графіком функції є частина синусоїди (рис.50).

б) у = arccos x, тобто у є дуга, узята в границях 0 ≤ у ≤ π, косинус якої дорівнює х:

cos y = x (головне значення).

Рис.50

Функція визначена на відрізку [-1, 1]; графік її – частина косинусоїди (рис. 51).

в) у = arctg x, тобто у є дуга, узята в границях –π/2 < у < π/2, тангенс якої дорівнює х: tg y = x (головне значення). Функція визначена в проміжку -∞ < х < +∞ однозначно; графік її - дуга тангенсоїди (рис.52).

г) у = arcctg x, тобто у є дуга, узята в границях 0 < у < π, котангенс якої дорівнює х: ctg y = x. Функція однозначно визначена в проміжку -∞ < х < +∞ ; її графіком служить дуга котангенсоїди (мал.53).

Рис.52 Рис.53

Рис.51

Розглянуті графіки основних елементарних функцій варто пам'ятати. Користуючись ними, можна будувати велику кількість графіків елементарних функцій, розглядаючи останні як «перетвореня основних елементарних функцій».

При побудові графіка функції важливо враховувати симетрію графіка й періодичність.

ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ

6.1. Дійсні числа. Абсолютна величина

Означення. Абсолютною величиною дійсного числа х називається саме число х, якщо воно додатнє або нуль, і –х, якщо х – від’ємне число.

Позначається величина х символом |х|.

У такий спосіб:

|х| = х, якщо х ≥ 0,

|х| = - х, якщо х < 0.

Наприклад: |7| = 7, |0| = 0, |-7| = - (- 7) = 7.

Абсолютна величина числа х геометрично виражає відстань від точки з абциссой х до початкової точки О числової прямої.

М1 (х) О М (х)

 

|х| = - х |х| = х

Очевидно, що числа - х і х мають однакову абсолютну величину: |-х| = |х|.

|-7| = |7| = 7.

Нерівності |х| < а будуть задовольняти всі значення числа х, величина яких менше а:

(-а; а) і буде інтервал: - а < х < а

- а 0 а

Нерівності |х| > а (а > 0) будуть задовольняти всі значення х, величина яких більше а, тобто буде два інтервали (-∞;-а), (а;+∞).

х х

- а 0 а

Інтервали: (-∞;-а), (а;+∞) можуть бути записані за допомогою нерівностей: х < - а й х > а, а напівінтервал (-∞; - а] і напівсегмент [а; +∞) - за допомогою нерівностей х ≤ - а, х ≥ а.

Властивості абсолютних величин

1. |х + у| ≤ |х| + |у|.

2. |х| ≥ х.

3. |х - у| ≥ |х| - |у|.

4. |х·у| = |х| ·|у|

5. , при |у| ≠ 0.

6. |хn| = |x|n, при n – парному.

6.2. Границя функції

У математичному аналізі, як правило, розглядаються безрозмірні величини, позбавлені фізичного змісту. Сукупності значень таких величин являють собою деякі числові множини виходячи із цього й використовуючи логічні символи ( «для кожного», «існує», «знайдеться»), можна формалізувати означення функції.

Означення 1:

Рис.54

Нехай Х и Y – дані числові множини. Якщо в силу деякої відповідності f, що ставить у відповідність елементам множини Х елементи множини Y, "х Î Х $ у Î Y (єдиний), то у називають однозначною функцією від х, визначеній на множині Х.

Цей факт позначається в такий спосіб: y = f(x) (x Î X).

Можна сказати, що функція f здійснює відображення множини Х у множину Y.(Рис.54).

Приклад: Функція f(x) = sin x (0 < x < 2π) відображає інтервал Х = (0,2π) на відрізок Y = [-1,1].

Означення 2:

Околом Uа точки а (а – дійсне число) будемо розуміти будь-який інтервал α<х<β, що оточує цю точку (α< а < β), з якого вилучена точка а.

 

Під окілом U∞ символу ∞ ≡ ± ∞, розуміється зовнішність будь-якого відрізка [α;β], тобто U∞ = (-∞;α) U (β; +∞). Природньо, що символ ∞ не міститься в своєму околу.

Отже, надалі, під окілом точки а ми будемо розуміти будь-який інтервал, що оточує цю точку а, ми будемо його називати “повним окілом точки а”.

При визначенні однобічних околів точки а: U--а = (α, а) (лівий окіл) і U+a = (а, β) (правий окіл) точка а завжди виключається!

Як неважко переконатися:

1)  сума (об'єднання ) будь-якого числа околів точки а

2)  добуток (перетинання) кінцевого числа околів точки а є також окіл цієї точки.

 

Рис. 57

Для додатнього числа d окіл Uа деякої кінцевої точки а назвемо її d - окіл, якщо Uа = (а-d, а) U (а, а + d), тобто якщо " х є Uа , 0 < | х-а | < d.

Нехай функція f (х) задана на множині Х. Точка а (а звичайно) називається граничною точкою (точкою накопичення) цієї множини, якщо в будь-якому її d-окілу Uа втримується нескінченно багато елементів х є Х, тобто "Uа Uа ∩ Х ≠ Ǿ. У найпростішому випадку можна припускати, що функція f (х) визначена в деякому окілу точки а, причому в самій точці а функція f (х) не обов'язково має сенс.