Зміст (стр. 2 )

9.  Визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь стовпця або рядка на їхні алгебраїчні доповнення, тобто

Запис визначника у вигляді одного з написаних рівностей називається розкладанням його по елементах деякого стовпця або деякого рядка.

10. Сума добутків елементів якого-небудь стовпця або якого-небудь рядка визначника на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого стовпця або іншого рядка дорівнює нулю.

3. Дослідження системи трьох рівнянь першого ступеня із трьома невідомими

Розглянемо систему трьох рівнянь першого ступеня із трьома невідомими x, y, z :

(1)

(коефіцієнти й вільні члени вважаються заданими).

Трійка чисел називається розв’язком системи (1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість х, y, z всі три рівняння (1) обертаються у тотожність.

Надалі основну роль будуть грати наступні чотири визначники:

Визначник ∆ називається визначником системи (1). Визначники виходять із визначника системи ∆ заміною вільними членами елементів відповідно першого, другого й третього стовпців.

Якщо визначник ∆ системи (1) відмінний від нуля (∆ ≠ 0), то існує, і притому єдине, розв’язання цієї системи й воно виражається формулами:

Нарешті, якщо ∆=0 й ∆= ∆= ∆= 0, то система (1) або зовсім не має розв’яків, або якщо система (1) має хоча б одне розв’язок, то вона має нескінченно багато розв’яків.

1.2. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

Система лінійних рівнянь

однозначно визначається матрицею

яка називається розширеною матрицею системи. Матриця, що розташована лівіше вертикальної рисочки, називається матрицею системи. Наприклад, розширеною матрицею системи

служить матриця

Надалі, говорячи про рядки системи лінійних рівнянь, ми будемо мати на увазі рядки відповідної розширеної матриці.

Теорема. Якщо деякий рядок системи лінійних рівнянь помножити на відмінне від нуля число, то виникає система лінійних рівнянь, еквівалентна даній.

Теорема. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти кінцевим числом елементарних перетворень рядків, то відповідні системи лінійних рівнянь еквівалентні.

Лема. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти кінцевим числом елементарних перетворень рядків, то будь-яке розв’язання системи, що відповідає матриці А, буде розв’язанням системи, що відповідає матриці В.

Теорема. Якщо число рівнянь однорідної системи лінійних рівнянь менше числа невідомих, то вона має хоча б один ненульовий розв’язок.

Теорема. Однорідна ступінчаста система n лінійних рівнянь із n невідомими має ненульові розв’язки тоді і тільки тоді, коли її матриця містить нульовий рядок.

Теорема. Якщо рядки и, ..., и є розв’язками рівнянняа1х1+... +а х = 0, то для будь-яких дійсних чисел λ.. . . . .λt, рядок u =λ1u1 + . . . +λ u також є розв’язком цього рівняння.

1.3. Ранг матриці

Квадратна матриця називається вироджена, якщо за допомогою кінцевого числа елементарних перетворень рядків вона може бути перетворена в матрицю, що має хоча б один нульовий рядок.

Теорема. Наступні властивості квадратної матриці А еквівалентні:

(1) А — выродженная матриця;

(2) система однорідних лінійних рівнянь із матрицею А має хоча б один ненульовий розв’язок;

(3) при будь-якому способі приведення матриці А к ступінчастому вигляду елементарними перетвореннями рядків одержана ступінчаста матриця містить нульовий рядок.

Теорема. Якщо А — вироджена матриця й від А к В можна перейти кінцевим числом елементарних перетворень, то В — вироджена матриця.

Теорема. Якщо А — вироджена матриця, а матриця В отримана з А множенням одного з її рядків на дійсне число λ, то В — також вироджена матриця.

Теорема. Ранг ступінчастої матриці дорівнює числу її ненульових рядків.

Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях рядків.

Лема. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти кінцевим числом елементарних перетворень рядків, то (ранг В) ≤ (ранг А).

1.4. Теорема про головні невідомі

Система лінійних рівнянь називається сумісною, якщо вона має розв’язання. Зокрема, однорідна система лінійних рівнянь завжди сумісна.

Теорема (Кронекера—Капеллі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу її розширеної матриці.

Теорема (про головні невідомі). Нехай є спільна система т лінійних рівнянь із п невідомими, Ã — розширена матриця цієї системи й (ранг Ã) = r.

Тоді невідомі хі1 … хіk можна оголосити головними тоді і тільки тоді, коли k=r й у стовпцях матриці Ã з номерами і1,…,іk. розташовується невироджена підматриця порядку r.

Теорема. Нехай невідомі хі1, xі2, ....хі n-r однорідної системи лінійних рівнянь від n невідомих з матрицею А рангу r можна оголосити вільними. Для кожного k, де 1≤k≤n-r, позначимо через uk той єдиний розв’язок системи, що виходить, якщо невідомому xik додати значення 1, а іншим вільним невідомим - значення 0. Тоді будь-яке розв’язання розглянутої системи є лінійною комбінацією сімейства

Теорема. Якщо будь-яке розв’язання однорідної системи лінійних рівнянь від n невідомих з матрицею А рангу r є лінійною комбінацією розв’язків Û1,…, Ūs, то s≥n-r.

Теорема. а) Якщо u — розв’язання системи лінійних рівнянь із матрицею А, а Û — розв’язок однорідної системи лінійних рівнянь із тією ж матрицею А, то ū+Ū є розв’язком першої із цих систем.

б) Якщо ū0 — деякий розв’язок системи лінійних рівнянь із матрицею А, то будь-який розв’язок ū цієї системи можна представити у вигляді суми ū0 + Ū, де Ū — деякий розв’язок однорідної системи лінійних рівнянь із тією ж матрицею А.

1.5. Система трьох лінійних рівнянь

Розглянемо стандартну лінійну систему трьох рівнянь:

вільні члени яких перебувають у правих частинах. Під розв’язком системи розуміється, будь-яка трійка чисел (х, у, z), що задовольняє даній системі.

Введемо визначник системи:

, а також додаткові визначники:

, ,

Послідовно множачи рівняння системи на алгебраїчні доповнення А1, А2, А3 відповідних елементів а1, а2, а3 перші стовпці визначника D одержимо:

(а1А1 +а2А2 + а3А3 ) х +( b1A1 + b2A2 + b3A3 ) y + (c1A1 + c2A2 + c3A3 ) z = d1A1 + d2A2 + d3A3.