Зміст (стр. 5 )

(8)

З формули (8) одержуємо, що два вектори а й b перпендикулярні (ортогональні), тобто φ = π/2, тоді й тільки тоді, коли

ab = 0 (9)

Це твердження справедливо також й у тому випадку, коли хоча б один з векторів a або b нульовий.

Приклад. Знайти проекцію вектора а на вектор b. Позначаючи через φ кут між цими векторами маємо:

Нехай вектори а й b колінеарні (паралельні). Відповідно до умови колінеарності b = ka, де k-скаляр, що еквівалентно

bx = kаx, by = kay , bz = kаz , або

Таким чином, вектори колінеарні тоді й тільки тоді, коли їхні однойменні координати пропорційні.

Для перпендикулярних (ортогональних) векторів a й b маємо φ = π /2 й, отже, cos φ = 0, або відповідно до формули:

ах bx + а by + аz bz = 0.

Таким чином, два вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли сума парних добутків їхніх однойменних координат дорівнює нулю.

2.8. Векторний добуток векторів

Нагадаємо, що трійка а, b і с не компланарних векторів називається правою (рис. 11) або лівою (рис. 12), якщо вона орієнтована за правилом правого гвинта або відповідно за правилом лівого гвинта.

Зазначимо, що якщо в трійці не компланарних векторів а, b, с переставити два вектори, то вона змінить свою орієнтацію, тобто із правої зробиться лівою або навпаки.

В подальшому праву трійку ми будемо вважати стандартною.

Означення. Під векторним добутком двох векторів а й b слід розуміти вектор c = а х b ≡ [а, b], (1) для якого:

1) модуль дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах, тобто c = ïc ï = ab sin φ , (2)

де φ = (a, b ) (0 ≤ φ ≤ π ) (рис. 13);

2) цей вектор перпендикулярний векторам, що перемножуються (інакше кажучи, перпендикулярний площини побудованого на них паралелограма), тобто с┴а й с┴ b;

Рис.11 Рис.12 Рис.13

3) якщо вектори неколінеарні, то вектори а, b, с утворюють праву трійку векторів.

Основні властивості векторного добутку

1) При зміні порядку співмножників векторний добуток змінює свій знак на протилежний, зберігаючи модуль, тобто

Ь х а= - (а х Ь) (3)

Дійсно, при перестановці векторів а й Ь площа побудованого на них паралелограма залишається незмінною, тобто ïЬ х а ï = ï а х Ь ï. Однак трійка векторів Ь, а, а х Ь є лівою. Тому напрямок вектора Ь х а протилежний до напрямку вектора а х Ь (а й Ь неколінеарні). Якщо а й Ь колінеарні, то рівність (3) очевидна.

Таким чином, векторний добуток двох векторів не має переставної властивості.

2) Векторний квадрат дорівнює нуль-вектору, тобто а х а = 0.

(очевидний наслідок з властивості 1).

З) Скалярний множник можна виносити за знак векторного добутку, тобто якщо λ - скаляр, то

( λа х b) = (a x λb) = λ ( а х b).

Ця властивість безпосередньо випливає зі змісту добутку вектора на скаляр і визначення векторного добутку.

4) Для будь-яких трьох векторів а, b, с справедлива рівність

(а + b) х с= (а х с) + ( b х с), (4)

тобто векторний добуток має розподільну властивість.

Приклад: (а – b) х (а + b) = (а х а) — (b х а) + (а х b) — (b х b) = = 0 + (а х b) + (а х b) + 0 = 2 х (а х b).

Звідси, зокрема, маємо │(а — b) х (а + b) │= 2 │а х b │,

тобто площа паралелограма, побудованого на діагоналях даного паралелограма, дорівнює подвоєній площі цього паралелограма.

За допомогою векторного добутку зручно формулювати необхідну й достатню умову колінеарності двох векторів а й b: a x b = 0.

2.9. Векторний добуток у координатній формі

Нехай a = аx i + аy ј + az k (1) і b = bx i + by ј + bz k . (2)

Перемножуючи векторно ці рівності й використовуючи властивості векторного добутку, одержимо суму дев'яти доданків:

а х b = [аx bx (i х i) + аy bx (j x i) + аzbx ( k x i)] + [аx by ( i x j ) + аy by ( j x j ) +

аz by ( k x j ) ] + [ axbz ( i x k) + аy bz (j x k ) + аz bz (k x k)]. (3)

З визначення векторного добутку випливає, що для ортів i , j , k справед-лива наступна «таблиця множення»:

i х i = 0 , j x j =0, k x k =0 й

i x j = - ( j x i ) = k, j x k = - ( k x j) = i, k x i = - ( i x k) = j.

Тому з формули (З) одержуємо

a х b = i (аy bz,— аz ,by )+ j (аz bx — аx bz ) + k (аxby — аy bx ) =

= i ¾ j + k (4)

(с збереженням порядку проходження букв х, у, z).

Для зручності запам'ятовування формула (4) записується у вигляді визначника третього порядку.

i j k

а х b = аx аy аz (5)

bx by bz

З формули (4) випливає, що

½ a x b ½2 = (6)

Геометрично формула дає квадрат площі паралелограма, побудованого на векторах а й b.

2.10. Змішаний добуток векторів

Означення. Під змішаним (або векторно-скалярним) добутком векторів а, b і с слід розуміти число аbс=(а х b ) • с.

Означення. Змішаний добуток трьох векторів дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, взятому зі знаком плюс, якщо ці вектори утворять праву трійку, і зі знаком мінус, якщо вони утворять ліву трійку.