Зміст (стр. 14 )

Отже, нехай а – гранична точка множини Х – області визначення функції f(х).

Означення 3:

Число А називається границею функції f (х) при х >а (а - число), тобто

f(x) = A, якщо для будь-якого ε > 0 існує такий окіл

Uа = {х | 0 < | х – а | < d}, d = d (e) – залежить від e, що | f(x) – A | < e при х Є Uа.

Звичайно, нерівність повинна виконуватися для всіх тих х, для яких визначена функція f(х), тобто для х Є Х ∩ Uа ; відповідно до визначення граничної точки в кожному околу Uа множина таких значень не порожнья.

Зауваження. За змістом означення границі функції, числа e та d = d (e) можна брати досить малими.

Означення 4:

Твердження f(x) = A еквівалентно наступному:

| f(x) – A | < e при | х | > ∆, де ∆ = ∆ (e) залежить від e.

Множина всіх точок х, для яких | х | > ∆, є симетричним окілом U∞ символу ∞; при цьому передбачається, що для будь-якої такої окілу U∞ ∩ Х ≠ Ǿ; умовно можна сказати, що ∞ є гранична точка множини Х - області визначення функції f(х).

6.3. Загальне визначення границі функції

Означення. Нехай f (х) – функція, визначена на множині Х, і а – гранична точка цієї множини. Число А є границею функції f (х) при х→а тоді й тільки тоді, коли для кожного e > 0 існує такий окіл Uа точки а, що | f (x) – A | < e " x Î Ua ∩ X.

Записують так:

Lim f (x) = A Û " e > 0 $ d (e) > 0 " x | x – a | < d Þ | f (x – A) | < e.

x ® a

Коротко цей факт записується так: якщо f (х) - неперервна в точці

Теорема. Якщо функція f (х) = с постійна в деякому окілу точки а, то

Причому с є єдиною границею цієї функції при х ® а.

Функцію, що має границю, не слід плутати з обмеженою функцією.

Означення.

Функція f (х) називається обмеженою на даній множині Х, якщо існує таке додатне число М, що | f (x) | ≤ M при х Î Х.

Якщо такого числа М немає, то функція f (х) називається необмеженою.

Лема. Функція f (х), що має границю А при х ® а, обмежена в деякому окілу точки а.

Зауваження. Обернене твердження неправильно: обмежена функція може не мати границі. Наприклад: функція f (x) = sin 1/x обмежена при 0 < | х | < +¥ і не має границі при х ® 0.

Відзначимо ще одну теорему, що встановлює зв'язок між границями функції і її межею.

Теорема.Нехай існує М < f (x) < N й , у деякій окілу Uа точки а. Тоді М ≤ А ≤ N.

Наслідок. Додатня функція не може мати від’ємної границі.

Зауваження. Поняття границі функцій однієї змінної природно переноситься на функції декількох змінних.

Кілька прикладів обчислення границь функцій:

Розглянемо функцію у = f (х) задану формулами:

х, якщо х ≠ 0

у = f (x) = 1, якщо х = 0

очевидно, що коли х → 0, значення f (х) → 0, тому f (x) = 0

Границя функції: - ця рівність називається першою чудовою границею.

Границя функції: - ця рівність називається другою чудовою границею.

Приведемо ще дві границі:

1)  =0 (n > 0) 2)

До поняття границі функції примикає поняття безперервності функції f (х) у точці х0:

-  Якщо значення функції f (х0) у точці х0 збігається зі значенням границі f(х) у точці х0, тобто, якщо у0 = f (х0) = lim f (x), то функція f (x) неперервна в точці х0.

-  Якщо ця рівність не має місця, то функція f (x) називається розривною у точці х0.

6.4. Властивості границь

Теорема. Нехай функції f (х) і g (х) мають у точці х0 (a) значення В и С відповідно. Тоді функції ; і (c ¹ 0) мають у точці х0 границі, рівні відповідно: В ± С, ВС і тобто ,

, , якщо $ і $

Зауваження. Теорема справедлива також й у випадку, коли х0 є одним із символів ¥; +¥ або -¥.

Теорема. Нехай функції f (х) і g (х) неперервні в точці а, тоді функції ; і також неперервні в цій точці (при g (а)¹0).

6.5. Границя послідовності

Означення. Число а називають границею послідовності х, х,....х.. ,якщо для будь-якого додатнього числа ( можна знайти таке натуральне число N, що для всіх значень n, задовільняє нерівності n > N, буде виконуватися нерівність:

| хn – a | < e.

Тобто відстань між точкою а й точками хn, номер n яким більше N, буде менше e. Запис:

lim xn = a, або lim xn = a

n®+¥

Якщо послідовність не має границі, то вона називається розбіжною.

Прикладом розбіжної послідовності є послідовність із загальним членом:

Хn = (-1)n 5n : -5; 25; -125...

Члени цієї послідовності не накопичуються біля однієї точки числовій прямій, тому вона не має границі, тобто розходиться.

Означення. Будь-який інтервал числової прямої із центром у точці а називається окілом точки а.

Для однієї й тієї ж точки можна вказати скільки завгодно околів. Наприклад: кожний з інтервалів: (а -1; а +1); (а -1/2; а+1/2) є окілом точки а.

а –1 а - ½ а а+1/2 а+1

 

Х

Теорема. Послідовність не може мати двох різних границь.

Теорема. Послідовність, що має границю, обмежена.

Однобічні границі функції

У додатках зустрічаються однобічні границі функції. Введемо поняття лівої й правої околиць точки а (а – число).

Означення 1.

1)  Будь-який інтервал U-а = (α, а), правим кінцем якого є точка а, називається її лівим окілом.

2)  Будь-який інтервал U+а = (а, β), лівим кінцем якого є точка а, називається її правим окілом.

Символічний запис х→а – 0 позначає, що х приймає лише значення, що належать деякому лівому окілу точки а, тобто х →а, х < а.

Аналогічно, запис х →а + 0 позначає, що х → а, х > а.

Означення 2.

1) Формула , де функція f (х) визначена на множині Х и а – гранична точка цієї множини (а – скінчене), а А – число, позначає, що " e > 0 $ U ā така, що |f (x) – A | < e при х Î Х ∩ U-а (границя функції ліворуч).

2) Формула , де (B – число) має наступний сенс:

| f (х) – В | < e при х Î Х ∩ U+а, де e > 0 довільно й U+а залежить від e (границя функції праворуч).

Для чисел А и В вживається символічний запис (рис.58):

А = f (a - 0) і В = f (а + 0).

Якщо функція f (х) визначена в точці а, то її значення в цій точці позначається через f (а); звичайно, воно може не збігатися із числами f (а – 0) і f(а+ 0).