Зміст (стр. 9 )

У такий спосіб: дійсна крива другого порядку є колом, тоді й тільки тоді, коли 1) коефіцієнти при квадратах поточних координат рівні між собою й 2) відсутній член, що містить добуток поточних координат.

3.3.2. Центральні криві другого порядку

Розглянемо рівняння кривої другого порядку

Ах2+Су2+Dx+Еу+F = 0. (1)
( ) без члена з добутком координат x й y (B=0). Доповнюючи члени, що містять x й y відповідно, до повних квадратів, будемо мати

(2)

Звідси, полагаючи

(3) і (4) одержуємо (5)

Паралельні вісям координат Ох й Оу прямі у = у0

Рис.25

і х = х0 є осями симетрії кривої (5) (вісі кривої). Дійсно, якщо точка М(х0, у0—h) лежить на кривій (5), то симетрична їй відносно прямої у = у0 точка

М’(х0, в0 + h) також лежить на цій кривій.

Аналогічною властивість має пряма х = х0.

Надалі, для простоти дослідження, будемо припускати, що центр кривої перебуває на початку координат, тобто х0 = 0, у0 = 0. Тоді рівняння кривої має вигляд: Ах2 + Су2 = ∆. (6)

Означення 1. Крива другого порядку (6) називається еліпсом (точніше, належить еліптичному типу), якщо коефіцієнти А и С мають однакові знаки, тобто АС > 0 (7)

Для визначеності будемо вважати, що А > 0 і С > 0 (тому що, у іншому випадку, знаки членів рівняння (6) можна змінити на протилежні).

Можливі три випадки: 1) ∆>0, 2) ∆=0 й 3) ∆<0.

У першому випадку, ∆ > 0, маємо дійсний еліпс

(8) де числа (9)

називаються півосями еліпса. Звичайно думають 0 < b ≤ а (цього завжди можна домогтися шляхом належного вибору вісей Ох й Oу). Рівняння (8) називається канонічним рівнянням еліпса з півосями а і b (рис. 25). Точки А(а,0), В(0,b), А’(-а,0), В’(0,-b) називаються вершинами еліпса , а відрізки А’А = 2а й В’В = 2b - його осями. Відзначимо, що з рівняння (8) маємо x ≤ а, у ≤ b.

Помітимо, що при а = b

одержуємо коло х2 + у2 =а2

У іншому випадку, ∆ = 0,

крива (6) являє собою точку O (0, 0)

Рис.26

(вироджений еліпс).

Нарешті, у третьому випадку, ∆ < 0,

крива (6) не має дійсних точок; її умовно називають уявним еліпсом.

Означення 2. Крива другого порядку (6) називається гіперболою (точніше, кривою гіперболічного типу), якщо коефіцієнти А и С мають протилежні знаки, тобто АС < 0. (10)

Припустимо, для визначеності, А > 0, тоді С < 0. Можливі три випадки:

1) ∆ > 0, 2) ∆ = 0, 3) ∆ < 0.

У першому випадку, ∆ > 0, маємо гіперболу з канонічним рівнянням

(11)

де (дійсна піввісь) і (уявна піввісь)

(рис. 27). точки А (а, 0) і А’ (-а, 0) називаються вершинами гіперболи. Відзначимо, що ≥ а.

У другому випадку, ∆ = 0, одержуємо пари прямих,

що перетинаються

(вироджена гіпербола)

Рис.27

Нарешті в третьому випадку, ,

одержимо гіперболу

(12) з півосями

Якщо а'= а та b’ =b, то гіпербола (12) називається спряженою до гіперболи (11); її вершини: В (0; b) і В′ (0, -b) (рис. 27).

Відрізок А’А = 2а називається дійсною віссю, а відрізок В’В =2b – уявною віссю гіперболи (11).

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ

4.1. Прямокутна система координат у просторі

Прямокутна система координат Oxyz у просторі визначається заданням масштабної одиниці виміру довжин і трьох взаємно перпендикулярних осей, які перетинаються в одній точціі О: Ох; Оу й Oz. Точка О — початок координат, Ох — вісь абсцис, Оу - вісь ординат, Oz - вісь аппликат.

Рис. 28

Нехай М - довільна точка простору (рис. 28). Проведемо через точку М три площини, перпендикулярні координатним осям Ох, Оу й Oz. точки перетину площин з осями позначимо відповідно через Мх, Му, і Мz. Прямокутними координатами точки М називаються числа:

х = ОМх, у = ОМу , z = ОМz ,

тобто величини спрямованих відрізків ОМх, ОМу, ОМz; при цьому x називається абсцисою, у - ординатою, а z - аппликатою точки М. Символ М (х; у; z) позначає, що точка М має координати х, y, z.

Рис. 29

Таким чином, при обраній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина впорядкована трійка чисел (х; у; z) — її прямокутні координати й, обернено, кожній упорядкованій трійці чисел (х; у; z) відповідає, і притому одна, точка М у просторі.

Площини Оху, Oyz, Oxz називаються координатними площинами. Вони ділять весь простір на вісім частин, названих октантами, які нумерують так, як показано на рисунку 29.

4.2. Поняття вектора

Означення 1. Напрямлений відрізок АВ називається вектором.

Буква А означає початок вектора, а буква В — його кінець.

Вектор також позначають й однією буквою з рискою нагорі, наприклад . Напрямок вектора на малюнку вказують стрілкою (рис. 30).

Вектор, у якого початок і кінець збігаються, називається нульовим і позначається 0 або просто .

Довжина вектора позначається ½½ або ½½.Якщо ½½=1, то вектор називається одиничним.

Рис.30

.

Вектори а й b називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Нульовий вектор напрямлений однаково з будь-яким вектором; довжина його дорівнює нулю, тобто ½ ½ = 0.

Означення 2. Вектори й називаються рівними ( = ), якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і їх довжини рівні.