Зміст (стр. 1 )

ЗМІСТ:

1.	ЛІНІЙНА АЛГЕБРА	5
1.1	Визначники	5
1.2	Методи розв’язування лінійних рівнянь	7
1.3	Ранг матриці	8
1.4	Теорема про головний невідомий	8
1.5	Система трьох лінійних рівнянь	9
1.6	Однорідна система трьох лінійних рівнянь	9
1.7	Системи лінійних рівнянь із багатьма невідомими. Метод Гаусса	10
2.	ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ	11
2.1	Скаляри й вектори	11
2.2	Сума векторів	12
2.3	Різниця векторів	13
2.4	Множення вектора на скаляр	13
2.5	Колінеарні вектори	13
2.6	Компланарні вектори	14
2.7	Скалярний добуток векторів	14
2.8	Векторний добуток векторів	16
2.9	Векторний добуток у координатній формі	17
2.10	Змішаний добуток векторів	17
3.	АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ	18
3.1	Рівняння лінії	18
3.2	Пряма лінія	21
3.3	Лінії другого порядку	26
4.	АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ	28
4.1	Прямокутна система координат у просторі	28
4.2	Поняття вектора	29
4.3	Лінійні операції над векторами. Розкладання по базису	30
4.4	Скалярний добуток векторів	31
4.5	Змішаний добуток трьох векторів	31
4.6	Рівняння площини	32
4.7	Рівняння прямої	32
4.8	Пряма й площина	33
4.9	Точка перетину прямої і площини	33
5.	ФУНКЦІЯ	33
5.1.	Поняття функції	33
5.2.	Парні й непарні функції	34
5.3.	Періодична функція	34
5.4.	Найпростіші функціональні залежності	35
5.5.	Класифікація функцій	36
5.6.	Графік функції	36
5.7.	Основні графіки елементарних функцій	37
5.8.	Важливі тригонометричні функції	37
6.	ТЕОРІЯ ГРАНИЦЬ	38
6.1.	Дійсні числа	38
6.2.	Границя функції	39
6.3.	Загальне визначення границі функції	41
6.4.	Властивості границь	42
6.5.	Границя послідовності	42
6.6.	Нескінченно малі	44
6.7.	Нескінченно великі	44
6.8.	Основні теореми про границі	45
6.9.	Деякі ознаки існування границі функції	46

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

1.1. Визначники

1. Визначники другого порядку. Визначення

Визначником другого порядку називається число, яке позначають символом

і виконується рівність

Числа називаються елементами визначника.

2. Визначники третього порядку. Визначення

Визначником третього порядку називається число, яке позначають символом

∆ = й виконується рівністю:

∆ = .

Щоб запам'ятати, які добутки в правій частині рівності беруться зі знаком (+), а які зі знаком (-), корисно використовувати наступне правило трикутників:

Рис.1	Рис.2

 

Це правило дозволяє легко записати формулу (1) і обчислити даний визначник.

Властивості визначників:

1. Величина визначника не зміниться, якщо його стовпці поміняти місцями, тобто

2.  Перестановка двох стовпців або двох рядків визначника рівносильна множенню його на -1.

3.  Якщо визначник має два однакових стовпці або два однакові рядки, то він дорівнює нулю.

4.  Множення всіх елементів одного стовпця або одного рядка визначника на будь-яке число λ рівносильно множенню визначника на це число λ.

5.  Якщо всі елементи деякого стовпця або деякого рядка визначника дорівнюють нулю, то й сам визначник дорівнює нулю.

6.  Якщо елементи двох стовпців або двох рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7.  Якщо кожен елемент n- го стовпця (n - го рядка) визначника являє собою суму двох доданків, то визначник може бути представлений у вигляді суми двох визначників, з яких один в n-му стовпці (n-му рядку) має перші зі зазначених доданків, а інший — другі; елементи, що розташовані на інших місцях, у всіх трьох визначників ті самі. Наприклад,

8. Якщо до елементів деякого стовпця (рядка) визначника додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на будь-який загальний множник λ, то величина визначника не зміниться. Наприклад,

Наступна властивість визначників пов'язане з поняттями мінору й алгебраїчного доповнення.

Мінором деякого елемента визначника називається визначник, одержуваний з даного визначника викреслюванням рядка й стовпця, на перетинанні яких розташований цей елемент.

Наприклад, мінором елемента а1 визначника ∆ є визначник другого порядку:

Алгебраїчним доповненням деякого елемента визначника називається мінор цього елемента, помножений на (—1)p, де р — сума номерів рядка й стовпця, на перетинанні яких розташований цей елемент. Алгебраїчне доповнення елемента позначається такою же прописною буквою, що й сам елемент.

Наприклад, якщо елемент а2 перебуває на перетинанні першого стовпця й другого рядка, то для нього р = 1+2=3 й алгебраїчним доповненням