Зміст (стр. 11 )

Отже, = l a l l b l cos φ, де φ – кут між векторами а і b.

Властивості скалярного добутку:

1.  = (переставна властивість співмножників).

2.  (λа) = λ( ) (сполучна властивість щодо множення на число).

3.  (b + c) = + (розподільна властивість суми векторів).

4. = │а│2 (скалярний добуток називається скалярним квадратом вектора а й позначається а 2 ).

5. = 0, якщо а ┴ b, і обернено, якщо = 0, а ≠ 0, b ≠ 0.

Вектори а, b, с називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо після приведення їх до спільного початку з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого – проти годинникової стрілки. У іншому випадку трійка називається лівою.

Означення. Векторним добутком вектора а на вектор b називається вектор а х b, що визначається трьома умовами:

1)  Довжина вектора а х b дорівнює │а││b │ sin φ, де φ – кут між векторами а й b.

2)  Вектор а х b перпендикулярний кожному з векторів а й b.

Вектори а, b, а х b утворять праву трійку векторів.

4.5. Змішаний добуток трьох векторів

Означення. Змішаним добутком трьох векторів а, b, c називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора а на векторний добуток векторів b й c, тобто a (b х с).

Наступна теорема виражає геометричний зміст змішаного добутку.

Теорема. Змішаний добуток а(b х с) дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах а, Ь, с, взятому зі знаком «+», якщо трійка а, Ь, с — права зі знаком «-», якщо трійка а, b, с — ліва. Якщо ж а, Ь, c - компланарні, то а(b х с) = 0.

Наслідок. З теореми легко виводиться тотожність:

a( b x c) = (a x b)c, тобто знаки можна міняти місцями. (1)

Теорема. Якщо вектори а, b, с задані своїми координатами

а ={Х1 ; Y1; Z1}, b ={X2 ; Y2 ;Z2}, c ={Х3,; Y3 ;Z3},

то змішаний добуток а, Ь, с визначається формулою:

abc

4.6. Рівняння площини

Нехай задані: прямокутна система координат Oxyz; довільна площина π; точка М0 (х0; у0; z0), що належить площині π; вектор N{A; B;C}, перпендикулярний до площини π (рис.35).

Рис. 35

Розглянемо довільну точку М (х; у; z). Точка М належить площині π тоді й тільки тоді, коли вектори М0М и N взаємно перпендикулярні. Тому що координати вектора М0М(х-х0 ,у–y0,z-z0) то за умови перпендикулярності двох векторів одержуємо, що точка М (х; y; z) належить площині π тоді й тільки тоді, коли

А (х-х0) +В (у-у0) + C (z-z0) = 0. (1)

Рівняння (1) є шукане рівняння площини π.

Ах + Вy + Сz +D = 0 (2)

Рівняння (2) називається загальним рівнянням площини.

Вектор N = {A; В; С}, перпендикулярний до площини, називається нормальним вектором цієї площини.

Умова перпендикулярності площин: А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

4.7.  Рівняння прямої

Пряма визначається спільним завданням рівнянь двох площин, що перетинаються по цій прямій.

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,

Нехай дано яка-небудь пряма L і ненульовий вектор а, що лежить на даній прямій або паралельний їй. Вектор а називається напрямним вектором даної прямої. Виведемо рівняння прямої, що проходить через дану точку М0. (х0; у0 ;z0 ) і напрямний вектор, що має даний, а = { l ; m ; n }.

Нехай М (х; у; z) — довільна точка. Вона лежить на прямій тоді й тільки тоді, коли координати вектора M0М={х-х0;y-y0;z-z0} пропорційні координатам вектора а:

(1)

Рівняння є шуканими. Вони називаються канонічними рівняннями прямої.

х = х0 + lt

y = y0 + mt (2)

z = z0 + nt

Рівності (2) називаються параметричними рівняннями прямої, що проходить через точку М0 (х0 ;у0 ;z0) і напрямний вектор, що має а = { l ; m ; n }.

Кут між двома прямими, заданими їхнім канонічним рівняннями.

і

визначається за формулою cos φ =

4.8. Пряма й площина

Кут між прямою й площиною Аx+Вy+Сz+D=0

визначається за формулою: sin φ =

Умова паралельності прямої і площини: Al + Bm + Cn = 0;

4.9. Точка перетину прямої і площині

Написавши параметричні рівняння прямої x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, підставимо в рівняння площини Аx + Вy + Сz + D = 0 замість x, y, z їх вираз через t. Підставляючи знайдене значення t у рівняння прямої, знаходимо шукану точку М (х; у; z) перетину прямої із площиною.

ФУНКЦІЯ

5.1. Поняття функції

Вивчаючи будь-яке явище, ми зазвичай маємо справу із сукупністю змінних величин, які пов'язані між собою так, що значення одних величин (незалежні змінні) повністю визначають значення інших (залежні змінні або функції).

Означення. Нехай Х и У – деякі числові множини.

Функцією f - називається множина впорядкованих пар чисел (х;у), таких, що

х є Х, у є У, і кожен х входить в одну й тільки одну пару цієї множини, а кожен у входить в одну пару.

При цьому говорять, що числу х поставлено у відповідність число у, і пишуть у = f (х). Число у називається значенням функції f у точці х, а змінну х – незалежної змінної (або аргументом), змінну – у називають залежною змінної; множина Х – областю визначення (або існування) функції, а У – множиною значень функцій.

Крім букви f для позначень функцій використовують інші букви латинського й грецького алфавітів; наприклад: у = у (х), у = g (х); у = φ (х); у = А (х) і т. д.

Іншими буквами позначають залежну й незалежну змінні. Іноді залежну змінну також називають функцією.

Нехай на деякій множині Х визначена функція f(x), тоді значення цієї функції, що відповідають деякому значенню аргументу х0; позначають f(x0).

Наприклад: якщо f(x) = x², то f(3) = 3² = 9, f(-2) = (-2)² = 4 і т. д.

Означення. Числовим сегментом з кінцями а й b називається множина всіх (дійсних) чисел, що задовільняють подвійній нерівності

а ≤ х ≤ b.

І записується сегмент так: [а, b]. a b

Визначення. Інтервалом з кінцями а й b, називається множина всіх чисел, що задовільняють подвійній нерівності: a < x < b

Записують так: (a, b).

а b

Означення. Напівінтервалом з кінцями a й b називається множина всіх чисел, що задовільняють подвійній нерівності:

a < x ≤ b.

a b

Записується так: (a й b].

a ≤ x < b