Математика управления капиталом (стр. 15 )

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19а):

Подставим А вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (X ^Y) ^ Z = Х ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы: А, SD и N — влияют на ре­зультат торговли. Очевидны несколько фактов. Во-первых, если А меньше или равно единице, тогда при любых значениях двух других переменных, SD и N, наш результат не может быть больше единицы. Если А меньше единицы, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если А меньше или равно 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно А - 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фак­тически, если А меньше 1, то наше разорение — это просто вопрос времени (то есть достаточно большого N).

При условии, что А больше 1, сростом N увеличивается наша прибыль. На­пример, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклоне­ние 0,25. Таким образом:

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475; 1,1475 ^ (1/2) = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу

соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сдел­ка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее гео­метрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выражен­ная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация по­зволяет вам как бы увеличить N (т. е. количество сделок) за определенный период времени. Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмот­рении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький stop-loss). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете больше потерять. Вас выбьет с рынка из-за слишком большо­го количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку А уменьшается в большей степени, чем SD. Вместе с тем, и уменьшение больших выигрышных сделок поможет ва­шей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает А. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базо­вого инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опцио­на), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная пози­ция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в боль­шей степени, чем уменьшить А. Если вы получаете прибыль по базовому инстру­менту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток опциону лишь незначи­тельно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как ваше SD, так и А. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увели­чить А и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшить SD в большей степени, чем уменьшить А.

Конечно, издержки на трансакции при такой стратегии довольно значи­тельны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться такой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стра­тегии и различные торговые правила должны рассматриваться сточки зре­ния фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оце­нить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована выше­упомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуа­ция, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и по­зиция по пут-опциону, эквивалентна просто длинной позиции по колл-опциону. В том случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на трансакции будут существенно ниже1, чем при наличии длинной позиции по базовому инструмен­ту и длинной позиции по пут-опциону. Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 году. Допустим, мы покупаем базовый инструмент — индекс ОЕХ. Система, кото­рую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом кана­ла. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низ­кий минимум последних 20 дней. Затем, в течение дня, если рынок повыша­ется и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает по­стоянную торговлю на рынке:

Дата	Позиция	Вход	P&L	Полный капитал	Волатильность
870106	Длинная	241,07	0	0	0,1516987
870414	Короткая	276,54	35,47	35,47	0,2082573
870507	Длинная	292,28	-15,74	19,73	0,2182117
870904	Короткая	313,47	21,19	40,92	0,1793583
871001	Длинная	320,67	-7,2	33,72	0,1848783
871012	Короткая	302,81	-17,86	15,86	0,2076074
871221	Длинная	242,94	59,87	75,73	0,3492674

Если определять оптимальное f no этому потоку сделок, мы найдем, что соот­ветствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,12445.

Теперь мы возьмем те же сделки, только будем использовать модель оценки фондовых опционов Блэка-Шоулса (подробно об этом будет рассказано в главе 5), и преобразуем входные цены в теоретические цены опционов. Входные данные для ценовой модели будут следующими: историческая волатильность, рассчитанная на основе 20 дней (расчет исторической волатильности также приводится в главе 5), безрисковая ставка 6% и 260,8875 дней (это среднее число ра­бочих дней в году). Далее мы допустим, что покупаем опционы, когда остается ровно 0,5 года до даты их исполнения (6 месяцев), и что они «при деньгах». Дру­гими словами, существуют цены исполнения, в точности соответствующие цене входа на рынок. Покупка колл-опциона, когда система в длинной позиции по ба­зовому инструменту, и пут-опциона, когда система в короткой позиции по базо­вому инструменту, с учетом параметров упомянутой модели оценки опционов, даст в результате следующий поток сделок:

Дата	Позиция	Вход	P&L	Полный капитал	Базовый инструмент	Действие
870106	Длинная	9,623	0	0	241,07	Длинный колл
870414	Фиксация	35,47	25,846	25,846	276,54
870414	Длинная	15,428	0	25,846	276,54	Длинный пут
870507	Фиксация	8,792	-6,637	19,21	292,28
870507	Длинная	17,116	0	19,21	292,28	Длинный колл
870904	Фиксация	21,242	4,126	23,336	313,47
870904	Длинная	14,957	0	23,336	313,47	Длинный пут
871001	Фиксация	10,844	-4,113	19,223	320,67
871001	Длинная	15,797	0	19,223	320,67	Длинный колл
871012	Фиксация	9,374	-6,423	12,8	302,81
871012	Длинная	16,839	0	12,8	302,81	Длинный пут
871221	Фиксация	61,013	44,173	56,974	242,94
871221	Длинная	23	0	56,974	242,94	Длинный колл

Если рассчитать оптимальное f по этому потоку сделок, мы придем к выводу, что соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,2166. Сравните его со средним геометрическим при оптимальном f для базового инструмента 1,12445. Разница огромная. Так как мы получили всего б сделок, то можно возвести каждое среднее геометрическое в 6-ую степень для определения TWR. Это даст TWR по базовому инструменту 2,02 против TWR по опционам 3,24. Преобразуем TWR в процент прибыли от нашего начального сче­та. Мы получим 102% прибыли при торговле по базовому инструменту и 224% прибыли при торговле опционами. Опционы в рассмотренном случае предпочти­тельнее, что подтверждается фундаментальным уравнением торговли.