Математика управления капиталом (стр. 30 )

+ (1,781477937 * Y ^ 3) - (0,356563782 * Y^ 2 + (0,31938153 * Y))) Если Z < 0, тогда N(Z) = 1 - N(Z), где Y =1/(1+0,2316419 *ABS(Z));

ABS() = функция абсолютного значения;

V N'(Z) = 0,398942 * EXP (- (Z^2/2));

ЕХР() = экспоненциальная функция. Таким образом:

N'(-3) = 0,398942 * EXP (- ((-3)^2/2)) = 0,398942 * ЕХР(- (9/2)) = 0,398942 * EXP (-4,5) =0,398942*0,011109 =0,004431846678 Y = 1 / (1 + 0,2316419 * ABS(-3)) = I/(1+0,2316419*3) =1/(1+ 0,6949257) =1/1,6949257 = 0,5899963639

N(-3) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,5899963639 ^ 5) -

- (-1,821255978 * 0,5899963639^ 4) + + (1,781477937 * 0,5899963639^3) -

- (0,356563782 * 0,589996363^ 2) + + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,07149022693) -

- (1,821255978 * 0,1211706) + (1,781477937 * 0,2053752) -

- (0,356563782 * 0,3480957094) + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * (0,09510162081- 0,2206826796+ 0,3658713876 -

-0,1241183226 + 0,1884339414) =0,004431846678*0,3046059476 =0,001349966857

Отметьте, если Z имеет отрицательное значение (Z = -3), нам не надо менять N(Z) на N(Z) = 1 - N(Z). Теперь для каждого значения в столбце стандартных значений будут соот­ветствующие значения в столбце ассоциированных P&L и в столбце ассоции­рованной вероятности. Это показано в следующей таблице. После того как вы заполните эти три столбца, можно начать поиск оптимального f и его побоч­ных продуктов.

Стандартное значение	Ассоциированные P&L	Ассоциированная вероятность	Ассоциированное значение HPR при f= 0,01
-3,0	($4899,57)	0,001350	0,9999864325
-2,9	($4725,24)	0,001866	0,9999819179
-2,8	($4550,92)	0,002555	0,9999761557
-2,7	($4376,60)	0,003467	0,9999688918
-2,6	($4202,27)	0,004661	0,9999598499
-2,5	($4027,95)	0,006210	0,9999487404
-2,4	($3853,63)	0,008198	0,9999352717
-2,3	($3679,30)	0,010724	0,9999191675
-2,2	($3504,98)	0,013903	0,9999001875

Продолжение
Стандартное значение	Ассоциированные P&L	Ассоциированная вероятность	Ассоциированное значение HPR при f= 0,01
-2,1	($3330,66)	0,017864	0,9998781535
-2,0	($3156,33)	0,022750	0,9998529794
-1,9	($2982,01)	0,028716	0,9998247051
-1,8	($2807,69)	0,035930	0,9997935316
-1,7	($2633,37)	0,044565	0,9997598578
-1,6	($2459,04)	0,054799	0,9997243139
-1,5	($2284,72)	0,066807	0,9996877915
-1,4	($2110,40)	0,080757	0,9996514657
-1,3	($1936,07)	0,096800	0,9996168071
-1,2	($1761,75)	0,115070	0,9995855817
-1,1	($1587,43)	0,135666	0,999559835
-1,0	($1413,10)	0,158655	0,9995418607
-0,9	($1238,78)	0,184060	0,9995341524
-0,8	($1064,46)	0,211855	0,9995393392
-0,7	($890,13)	0,241963	0,999560108
-0,6	($715,81)	0,274253	0,9995991135
-0,5	($541,49)	0,308537	0,9996588827
-0,4	($367,16)	0,344578	0,9997417168
-0,3	($192,84)	0,382088	0,9998495968
-0,2	($18,52)	0,420740	0,9999840984
-0,1	$155,81	0,460172	1,0001463216
0,0	$330,13	0,500000	1,0003368389
0,1	$504,45	0,460172	1,0004736542
0,2	$678,78	0,420740	1,00058265
0,3	$853,10	0,382088	1,0006649234
0,4	$1027,42	0,344578	1,0007220715
0,5	$1201,75	0,308537	1,0007561259

Продолжение
Стандартное значение	Ассоциированные P&L	Ассоциированная вероятность	Ассоциированное значение HPR при f= 0,01
0,6	$1376,07	0,274253	1,0007694689
0,7	$1,550,39	0,241963	1,0007647383
0,8	$1724,71	0,211855	1,0007447264
0,9	$1899,04	0,184060	1,0007122776
1,0	$2073,36	0,158655	1,0006701921
1,1	$2247,68	0,135666	1,0006211392
1,2	$2422,01	0,115070	1,0005675842
1,3	$2596,33	0,096800	1,0005117319
1,4	$2770,65	0,080757	1,0004554875
1,5	$2944,98	0,066807	1,0004004351
1,6	$3119,30	0,054799	1,0003478328
1,7	$3293,62	0,044565	1,0002986228
1,8	$3,467,95	0,035930	1,0002534528
1,9	$3642,27	0,028716	1,0002127072
2,0	$3816,59	0,022750	1,0001765438
2,1	$3990,92	0,017864	1,000144934
2,2	$4165,24	0,013903	1,0001177033
2,3	$4339,56	0,010724	1,0000945697
2,4	$4513,89	0,008198	1,0000751794
2,5	$4688,21	0,006210	1,0000591373
2,6	$4862,53	0,004661	1,0000460328
2,7	$5036,86	0,003467	1,0000354603
2,8	$5211,18	0,002555	1,0000270338
2,9	$5385,50	0,001866	1,0000203976
3,0	$5559,83	0,001350	1,0000152327

Побочные продукты при f= 0,01:

TWR= 1,0053555695

Сумма вероятностей = 7,9791232176

Среднее геометрическое = 1,0006696309

GAT = $328,09 доллара.

Оптимальное f надо искать следующим образом. Сначала вы должны опреде­литься с методом поиска f. Можно просто перебрать числа от 0 до 1 с определен­ным шагом (например 0,01), используя итерационный метод, или применить метод параболической интерполяции, описанный в книге «Формулы управле­ния портфелем». Вам следует определить, какое значение f (между 0 и 1) позволит получить наибольшее среднее геометрическое. После того как вы определитесь с методом поиска, следует найти ассоциированное P&L наихудшего случая. В нашем при­мере это значение P&L, соответствующее -3 стандартным единицам, то есть -4899,57.

Для того чтобы найти средние геометрические для значений f, которые вы бу­дете перебирать в поиске оптимального, нужно преобразовать каждое значение ассоциированных P&L и вероятность в HPR. Уравнение (3.30) позволяет рассчи­тать HPR:

где L = ассоциированное значение P&L;

W = ассоциированное значение P&L наихудшего случая (это всегда отрицательное значение);

f= тестируемое значение f;

Р = ассоциированная вероятность.

Для f=0,01 найдем ассоциированное HPR при стандартном значении-3. Ассо­циированное P&L наихудшего случая составляет -4899,57. Поэтому HPR равно:

HPR = (1 + (-4899,57 / (-4899,57 / (-0,01))))^ 0,001349966857 = (1 + (-4899,57/489957))^ 0,001349966857 = (1 + (-0,01))^ 0,00139966857 = 0,99^ 0,001349966857 = 0,9999864325

После того как мы найдем ассоциированные HPR для тестируемого f (0,01 в на­шем примере), можно рассчитать TWR. TWR — это произведение всех HPR для данного значения f: