Математика управления капиталом (стр. 32 )

К сожалению, большинство распределений торговых P&L плохо описываются функциями нормального и других распределений. В этой главе мы сначала обратимся к проблеме неопределенной природы распределения торговых P&L и далее изучим метод планирования сценария — естественное продолжение идеи оп­тимального/. Этот метод широко применяется и позволяет находить оптимальное f по ячеистым распределениям. Далее мы перейдем к следующей главе, посвященной опционам и одновре­менной торговле по нескольким позициям. Прежде чем смоделировать реальное распределение торговых P&L, мы должны найти метод сравнения двух распределений.

Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)

Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок при­ложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распреде­лениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).

Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и мак­симальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное аб­солютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное от­клонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсор­тированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматривае­мого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортиро­ванной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наи­большему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое рас­пределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распре­деления вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятно­сти. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему рас­стоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стан­дартном значении. При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоре­тической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ те­кущего стандартного значения.

Для того чтобы прояснить эту ситуацию, посмотрим на рисунок 4-1. Отметьте. что в точке А фактическая кривая находится выше теоретической. Поэтому мы сравниваем текущее значение фактической ФРВ с текущим теоретическим значе­нием для нахождения наибольшей разности. Однако в точке В фактическая кри­вая находится ниже теоретической. Поэтому мы сравниваем предыдущее факти­ческое значение с текущим теоретическим значением. Идея состоит в том, что в результате мы выберем наибольшую разность.

Для каждого стандартного значения нам надо взять абсолютное значение разно­сти между текущим значением фактической ФРВ и текущим значением теорети­ческой ФРВ. Нам также надо взять абсолютное значение разности между преды­дущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Повторив эту операцию для всех стандартных значений точек, где фактическая ФРВ делает скачок вверх на 1/N, и взяв наибольшую разность, мы определим пе­ременную D.

Рисунок 4-1 Тест К-С

Чем ниже значение D, тем больше похожи два распределения. Мы можем преоб­разовать значение D в уровень значимости с помощью следующей формулы:

где SIG = уровень значимости для данного D и N;

D = статистика К-С;

N = количество сделок, по которым определена статистика К-С;

% = оператор, означающий остаток после деления. Здесь J%2 дает остаток после деления J на 2;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Нет необходимости суммировать значения J от 1 до бесконечности. Уравнение сходится (обычно очень быстро) к определенному значению. После того как пре­дел достигнут (согласно допуску, установленному пользователем), нет необходи­мости продолжать суммирование значений.

Рассмотрим уравнение (4.01) на примере. Допустим, у нас есть 100 сделок, а значение статистики К-С равно 0,04:

J1 = (1 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 1^2 * (100^(1/2) * 0,04) л 2) =1*4-2* ЕХР(-2 * ^ 2 * (10 * 0,04)^ 2) = 2 * ЕХР(-2 * 1^2 * 0,^ 2) = 2*ЕХР(-2*1*0,16) = 2 * ЕХР(-0,32) = 2 * 0,726149 = 1,452298

Таким образом, нашим первым значением является 1,452298. Теперь прибавим следующее значение:

J2 = (2 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 2^ 2 * (100^ (1/2) * 0,04)^2) =0*4-2* ЕХР(-2 * 2^ 2 * (10 * 0,04)^ 2) = -2 * ЕХР(-2 * 2^ 2 * 0,4^ 2) = -2*ЕХР(-2*4*0,16) = -2*ЕХР(-1,28) = -2 * 0,2780373 = -0,5560746

Прибавив -0,5560746 к нашей текущей сумме 1,452298, мы получим новую теку­щую сумму 0,8962234. Затем снова увеличим J на 1, теперь оно будет равно 3, и решим уравнение. Получившееся значение прибавим к текущей сумме 0,8962234. Следует поступать таким образом и дальше, пока текущая сумма в пределах допуска не перестанет изменяться. В нашем примере предельное значе­ние будет равно 0,997. Этот ответ означает, что при 100 сделках и значении стати­стики К-С 0,04 мы можем быть уверены на 99,7%, что фактическое распределе­ние генерировано функцией теоретического распределения. Другими словами, мы можем быть на 99,7% уверены, что функция теоретического распределения представляет фактическое распределение. В данном случае это очень хороший уровень значимости.

Создание характеристической функции распределения

Нормальное распределение вероятности далеко не всегда является хорошей мо­делью распределения торговых прибылей и убытков. Более того, ни одно из рас­пространенных распределений вероятности не является идеальной моделью. По­этому мы должны сами создать функцию для моделирования распределения на­ших торговых прибылей и убытков.

Распределение изменений цены в общем случае относится к распределе­ниям Парето (см. приложение В). Распределение торговых P&L можно счи­тать трансформацией распределения цен. Эта трансформация является ре­зультатом торговых методов, когда трейдеры пытаются понизить свои убыт­ки и увеличить прибыли, следовательно, распределение торговых P&L можно отнести к распределениям Парето. Однако распределение, которое мы будем изу­чать, не является распределением Парето. Распределение Парето, как и все другие функции распределения, модели­рует определенное вероятностное явление. Оно моделирует распределение сумм независимых, идентично распределенных случайных переменных. Фун­кция распределения, которую мы будем изучать, не моделирует конкретное вероятностное явление. Она моделирует многие унимодальные функции рас­пределения. Поэтому она может повторить форму и плотность вероятности распределения Парето, а также любого другого унимодального распределения.

Теперь мы создадим эту функцию. Для начала рассмотрим следующее уравнение:

(4.02) Y=1/(X^ 2+1)

График этого уравнения — обычная колоколообразная кривая, симметрич­ная относительно оси Y, как показано на рисунке 4-2.

Таким образом, мы будем строить свои рассуждения, используя это общее уравнение. Переменную Х можно представить как число стандартных еди­ниц с каждой стороны от среднего, т. е. от оси Y. Мы можем использовать первый момент этого «распределения», расположение его среднего значения, добавив значение для изменения расположения на оси X. Уравнение изменится следую­щим образом:

(4.03) Y=1/(X-LOC^2+1),

где Y = ордината характеристической функции;

Х = количество стандартных отклонений;

LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения.

Рисунок 4-2 LOC = 0 SCALE = I SKEW = 0 KURT = 2

Рисунок 4-3 LOC =0,5, SCALE = 1, SKEW = 0, KURT= 2

Таким образом, если бы мы хотели изменить расположение, передвинув график влево на 0,5 единицы, мы бы установили LOC на -0.5. Этот график изображен на рисунке 4-3.

Таким же образом, если бы мы хотели сместить кривую вправо, то исполь­зовали бы положительное значение для переменной LOC. LOC с нулевым значением не будет смещать график, как показано на рисунке 4-2.

Показатель в знаменателе влияет на эксцесс. До настоящего момента экс­цесс был равен 2, но мы можем изменить его, изменив значение показателя. Те­перь формулу нашей характеристической функции можно записать следующим образом:

(4.04) Y = 1 / ((X - LOC)^ KURT + 1),

где Y == ордината характеристической функции;

Х = количество стандартных отклонений;

LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения;

KURT = переменная, задающая эксцесс, четвертый момент распределения.

Рисунки 4-4 и 4-5 показывают влияние эксцесса на нашу характеристическую функцию. Отметьте: чем выше показатель, тем более плосковерхое и тонкохвостое распределение (эксцесс меньше нормального), и чем меньше показа­тель, тем более острый верх и тем толще хвосты распределения (эксцесс боль­ше нормального). Чтобы не получить иррациональное число, когда KURT < 1, мы будем исполь­зовать абсолютное значение коэффициента в знаменателе. Это не повлияет на форму кривой. Таким образом, мы можем переписать уравнение (4.04) следую­щим образом:

(4.04) Y = 1/(ABS(X - LOC)^ KURT + 1)

Мы можем добавить множитель в знаменателе, чтобы контролировать шири­ну, второй момент распределения. Характеристическая функция будет выглядеть следующим образом: