Математика управления капиталом (стр. 55 )

Вернемся к вопросу о том, каким образом возможно инвестировать больше 100% в определенный компонент. Одно из основных утверждений этой книги со­стоит в том, что вес и количество не одно и то же. Вес, который вы получаете при нахождении геометрического оптимального портфеля, должен быть отражен в оптимальных f компонентов портфеля. Для этого следует разделить оптимальное f каждого компонента на его соответствующий вес. Допустим, у нас есть следую­щие оптимальные f (в долларах):

Toxico $2500

Incubeast $4750

LA Garb $5000

(Отметьте, что если вы приводите данные к текущей цене и, следовательно, полу­чаете приведенное оптимальное f и побочные продукты, тогда ваше оптимальное f в долларах будет меняться каждый день в зависимости от цены закрытия преды­дущего дня на основании уравнения [2.11].)

Теперь разделим f на соответствующие веса:

Toxico $2500 / 1,025982 = $2436,69

Incubeast $4750 / 0,4900558 = $9692,77

LA Garb $5000 / 0,4024979 = $12 422,43

Таким образом, используя новые «отрегулированные» значения f, мы получаем гео­метрический оптимальный портфель. Допустим, Toxico представляет определен­ную рыночную систему. Торгуя 1 контрактом в этой рыночной системе на каждые 2436,69 долларов на счете (и поступая таким же образом с новыми отрегулирован­ными значениями f других рыночных систем), мы будем торговать геометричес­ким оптимальным неограниченным портфелем. Если Toxico является акцией и мы считаем 100 акций «I контрактом», то следует торговать 100 акциями Toxico на каждые 2436,99 доллара на балансе счета. Пока мы не будем учитывать залоговые средства. В следующей главе мы рассмотрим проблему требований к залоговым средствам.

«Минутку, — можете возразить вы. — Если мы изменим оптимальный порт­фель посредством оптимального f, будет ли он оптимальным. Если новые значе­ния относятся к другому портфелю, то ему соответствует другая координата при­были, и он может не оказаться на эффективной границе».

Заметьте, мы не изменяем значения f. Мы просто сокращаем расчеты, и это выглядит так, как будто значения f изменяются. Мы создаем оптимальные порт­фели, основываясь на ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей при торгов­ле одной единицей каждого компонента, а также на коэффициентах корреля­ции. Таким образом, мы получаем оптимальные веса (оптимальный процент счета для торговли каждым компонентом). Поэтому, если рыночная система имеет оптимальное f = 2000 долларов и ее вес в оптимальном портфеле равен 0,5, мы должны использовать для этой рыночной системы 50% счета при пол­ном оптимальном f= 2000 долларов. Это то же самое, что торговать 100% наше­го счета при оптимальном f, деленном на оптимальный вес, т. е. ($2000 /0,5) = $4000. Другими словами, торговать оптимальным f= 2000 долларов на 50% счета, по сути, то же самое, что и торговать измененным f= 4000 долларов на 100% счета.

AHPR и SD, которые вы вводите в матрицу, определяются из значений опти­мального f в долларах. Если речь идет об акциях, то можно рассчитать значения AHPR, SD и оптимального f на основе одной акции или, например, 100 акций, вы сами определяете размер одной единицы.

В ситуации, когда нет рычага (например, портфель акций без заемных средств), вес и количество одно и то же. Однако в ситуации с рычагом (например, портфель фьючерсных рыночных систем), вес и количество отличаются. Идея, которая была впервые изложена в книге «Формулы управления портфелем», состо­ит в том, что мы пытаемся найти оптимальное количество, и оно является функци­ей оптимальных весов. Когда мы рассчитываем коэффициенты корреляции HPR двух рыночных сис­тем с положительными арифметическими математическими ожиданиями, то чаще всего получаем положительные значения. Это происходит потому, что кривые баланса рыночных систем (совокупная текущая сумма дневных измене­ний баланса) стремятся вверх и вправо. Проблема решается следующим обра­зом: для каждой кривой баланса надо определить линию регрессии методом наименьших квадратов (до приведения к текущим ценам, если оно применяет­ся) и рассчитать разность кривой баланса и ее линии регрессии в каждой точке. Затем следует преобразовать уже лишенную тренда кривую баланса в простые дневные изменения баланса. После этого вы можете привести данные к теку­щим ценам (когда это необходимо). Далее, рассчитайте корреляцию по этим уже обработанным данным. Предложенный метод работает в том случае, если вы используете корреляцию дневных изменений баланса, а не цен. Если вы будете использовать цены, то мо­жете получить искаженную картину, хотя очень часто цены и дневные изменения баланса взаимосвязаны (например, в системе пересечения долгосрочной скользя­щей средней). Метод удаления тренда следует всегда применять аккуратно. Разу­меется, дневное AHPR и стандартное отклонение HPR должны всегда рассчиты­ваться по данным, из которых не удален тренд.

Последняя проблема, которая возникает, когда вы удаляете тренд из данных, ка­сается систем, в которых сделки совершаются достаточно редко. Представьте себе две торговые системы, каждая из которых инициирует одну сделку в неделю, причем в разные дни. Коэффициент корреляции между ними может быть только незначи­тельно положительным. Однако когда мы лишаем данные тренда, то получаем очень высокую положительную корреляцию, поскольку их линии регрессии не­много повышаются каждый день, хотя большую часть времени изменение баланса равно нулю. Поэтому разность будет отрицательной. Преобладание дней с незначи­тельной отрицательной разностью между кривой баланса и линией регрессии в обе­их рыночных системах в результате дает неоправданно высокую положительную корреляцию.

Порог геометрической торговли для портфелей

Теперь обратимся к проблеме нахождения порога геометрической торговли для данной комбинации оптимального портфеля. Проблема легко решается, если разделить порог геометрической торговли для каждого компонента на его вес в оптимальном портфеле так же, как мы делили оптимальные f компонентов на их соответствующие веса для получения нового значения, справедливого для компо­нентов оптимального портфеля. Допустим, порог геометрической торговли для Toxico составляет 5100 долларов. Разделив данное значение на его вес в оптималь­ном портфеле, т. е. на 1,025982, мы получим новый измененный порог геометри­ческой торговли:

Порог =$5100/1,025982= $4970,85

Так как вес для Toxico больше 1, то его оптимальное f и порог геометрической тор­говли уменьшатся, поскольку мы делим их значения на этот вес. Если нельзя тор­говать дробной единицей Toxico, мы перейдем на 2 единицы, когда баланс повы­сится до 4970,85 доллара. Вспомните, что наше новое измененное значение f в оптимальном портфеле для Toxico равно 2436,69 доллара ($2500 / 1,025982). Так как данная сумма, умноженная на два, равна 4873,38 доллара, нам следует перейти на торговлю двумя контрактами в этой точке. Однако порог геометрической торговли, который больше чем в два раза превышает величину f в долларах, говорит о том, что не стоит переходить на торговлю 2 единицами до тех пор, пока баланс не достигнет порога геометрической торговли, равного 4970,85 доллара.

Если вы приводите данные к текущим ценам и получаете приведенное опти­мальное f и его побочные продукты, включая порог геометрической торговли, тогда оптимальное f в долларах и порог геометрической торговли будут меняться ежедневно в зависимости от цены закрытия предыдущего дня на основании урав­нения (2.11).

Подведение итогов

Отметим важный факт: структура неограниченного портфеля (для которого сум­ма весов больше 1, a NIC является частью портфеля) неизменна для любого уров­ня Е; единственным отличием является величина заемных средств (величина ры­чага). Для портфелей, лежащих на эффективной границе, когда сумма весов огра­ничена, это не так. Другими словами, для любой точки на неограниченных эффективных границах (AHPR или GHPR) отношения весов различных рыноч­ных систем всегда одинаковы.

Например, можно рассчитать отношения весов между различными рыночными системами в геометрическом оптимальном портфеле. Отношение Toxico к Incubeast составляет: 102,5982% / 49,00558% = 2,0936. Таким же образом мы можем опре­делить отношения всех компонентов в портфеле друг к другу:

Toxico / Incubeast = 2,0936

Toxico / LA Garb = 2,5490

Incubeast / LA Garb = 1,2175

Теперь вернемся к неограниченному портфелю и найдем веса для различных зна­чений Е. Далее следуют веса компонентов неограниченных портфелей, которые имеют самые низкие дисперсии для данных значений Е. Заметьте, что отношения весов компонентов одинаковы:

	E=0,1	Е=0,3
Toxico	0,4175733	1,252726
Incubeast	0,1994545	0,5983566
LA Garb	0,1638171	0,49145

Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем за­емных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограни­ченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного пор­тфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.06а) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет поло­жение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементар­ных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидае­мой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геомет­рически оптимален.