Математика управления капиталом (стр. 52 )

(7.0 la) Касательный портфель = MAX{(AHPR - (1 + RFR)) / SD},

где МАХ{} = максимальное значение;

AHPR =арифметическое среднее HPR, т. е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т. е. координата V данного портфеля на эффективной границе;

RFR== безрисковая ставка (risk-free rate).

В уравнении (7.0la) формула внутри скобок ({}) представляет собой отношение Шарпа. Отношение Шарпа для портфеля — это отношение ожидаемых избыточ­ных значений прибыли к стандартному отклонению. Портфель с наибольшим отношением Шарпа является портфелем, где линия CML касается эффективной границы при данном значении RFR.

Следующая таблица показывает, как использовать уравнение (7.01а). В первых двух столбцах указаны координаты различных портфелей на эффективной грани­це. Координаты даны в формате (AHPR, SD), что соответствует осям Y и Х рисун­ка 7-1. В третьем столбце представлены данные, полученные из уравнения (7.01а), при безрисковой ставке 1,5% (AHPR= 1,015). Мы исходим из того, что HPR имеют квартальные значения, таким образом, квартальная безрисковая ставка 1,5% примерно равна годовой безрисковой ставке 6%. Например, для тре­тьего набора координат (1,002; 0,00013) получим:

Проведем данный расчет для каждой точки на эффективной границе. Макси­мальное значение уравнения (7.01а) 0,502265 соответствует координатам (1,03;

0,02986), они задают точку, которая соответствует точке В на рисунке 7-1, где ли­ния CML касается эффективной границы. Точка касания соответствует опреде­ленному портфелю на эффективной границе. Отношение Шарпа определяет на­клон CML, причем самым крутым наклоном обладает касательная к эффектив­ной границе.

Продолжение
AHPR	Эффективная граница SD Уравнение (7.01а)	Линия CML Процент AHPR
1,00500	0,00083	-12,0543	2,78%	1,0154
1,00600	0,00119	-7,53397	4,00%	1,0156
1,00700	0,00163	-4,92014	5,45%	1,0158
1,00800	0,00212	-3,29611	7,11%	1,0161
1,00900	0,00269	-2,23228	9,00%	1,0164
1,01000	0,00332	-1,50679	11,11%	1,0167
1,01100	0,00402	-0,99622	13,45%	1,0170
1,01200	0,00478	-0,62783	16,00%	1,0174
1,01300	0,00561	-0,35663	18,78%	1,0178
1,01400	0,00650	-0,15375	21,78%	1,0183
1,01500	0,00747	0	25,00%	1,0188
1,01600	0,00849	0,117718	28,45%	1,0193
1,01700	0,00959	0,208552	32,12%	1,0198
1,01800	0,01075	0,279036	36,01%	1,0204
1,01900	0,01198	0,333916	40,12%	1,0210
1,02000	0,01327	0,376698	44,45%	1,0217
1,02100	0,01463	0,410012	49,01%	1,0224
1,02200	0,01606	0,435850	53,79%	1,0231
1,02300	0,01755	0,455741	58,79%	1,0238
1,02400	0,01911	0,470873	64,01%	1,0246
1,02500	0,02074	0,482174	69,46%	1,0254
1,02600	0,02243	0,490377	75,12%	1,0263
1,02700	0,02419	0,496064	81,01%	1,0272
1,02800	0,02602	0,499702	87,12%	1,0281
1,02900	0,02791	0,501667	93,46%	1,0290
1,03000	0,02986	0,502265 (пик)	100,02%	1,0300
1,03100	0,03189	0,501742	106,79%	1,0310

Продолжение
AHPR	Эффективная граница SD	Уравнение (7.01а)	Линия CML Процент AHPR
1,03200	0,03398	0,500303	113,80%	1,0321
1,03300	0,03614	0,498114	121,02%	1,0332
1,03400	0,03836	0,495313	128,46%	1,0343
1,03500	0,04065	0,492014	136,13%	1,0354
1,03600	0,04301	0,488313	144,02%	1,0366
1,03700	0,04543	0,484287	152,13%	1,0378
1,03800	0,04792	0,480004	160,47%	1,0391
1,03900	0,05047	0,475517	169,03%	1,0404
1,04000	0,05309	0,470873	177,81%	1,0417
1,04100	0,05578	0,466111	186,81%	1,0430
1,04200	0,05853	0,461264	196,03%	1,0444
1,04300	0,06136	0,456357	205,48%	1,0458
1,04400	0,06424	0,451416	215,14%	1,0473
1,04500	0,06720	0,446458	225,04%	1,0488
1,04600	0,07022	0,441499	235,15%	1,0503
1,04700	0,07330	0,436554	245,48%	1,0518
1,04800	0,07645	0,431634	256,04%	1,0534
1,04900	0,07967	0,426747	266,82%	1,0550
1,05000	0,08296	0,421902	277,82%	1,0567

Следующий столбец «Процент» отражает процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, если вы находитесь на линии CML при определенном значении стандартного отклонения. Другими словами, последняя строка в таблице (при стандартном отклонении 0,08296) соответствует наличию 277,82% ваших активов в касательном портфеле (основная сумма инвестиций и заем еще 1,7782 доллара на каждый инвестированный доллар для дальнейшего инвестирования). Процентное значение можно рассчитать, если знать стандарт­ное отклонение касательного портфеля:

(7.02) P=SX/ST,

где SX = координата стандартного отклонения определенной точ­ки на линии CML;

ST = координата стандартного отклонения касательного портфеля;

Р= процент активов, которые необходимо инвестировать в касательный портфель, чтобы быть на линии CML для данного значения SX.

Таким образом, если значение стандартного отклонения точки на линии CML (0,08296) из последней строки таблицы разделить на значение стандартного от­клонения касательного портфеля (0,02986), мы получим 2,7782, что соответствует 277,82%.

В последнем столбце таблицы показано AHPR линии CML при данной коорди­нате стандартного отклонения. Оно рассчитывается следующим образом:

где ACML = AHPR линии CML при данной координате риска, или соот­ветствующем проценте, рассчитанном из (7.02);

AT =значение AHPR касательной точки, полученное из (7.01а);

Р= процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

RFR= безрисковая ставка.

Стандартное отклонение определенной точки на линии CML для данного AHPR рассчитывается следующим образом:

(7.04) SD=P*ST,

где SD = стандартное отклонение в данной точке на линии CML при определенном проценте Р, соответствующем данному AHPR;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

ST = значение стандартного отклонения касательного портфеля.

Геометрическая эффективная граница

Особенность рисунка 7-1 состоит в том, что он отображает арифметическое сред­нее HPR. Если прибыли реинвестируются, то для координаты эффективной гра­ницы по оси Y правильнее рассматривать геометрическое среднее HPR. Такой

подход многое меняет. Формула для преобразования точки на эффективной гра­нице из арифметического HPR в геометрическое такова:

где GHPR = геометрическое среднее HPR;

AHPR = арифметическое среднее HPR;