Математика управления капиталом (стр. 18 )

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для на­глядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигры­ша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проиг­рыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим:

(1.10)  f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0,325

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0,175

Разделив наибольший проигрыш системы (т. е. -1) на отрицательные оптималь­ные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выиг­рыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Та­ким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оп­тимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру:

(1.03) М0=(0,3*2)+(0,7*-1) =0,6-0,7 =-0,1

В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выиг­рыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно суще­ствует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зави­симости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыноч­ными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок, А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1, и обе выигрывают 50% времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т. е. одна ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т. е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, неко­торые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каж­дые 4,347826087 единицы:

	А		Б	Комбинированный счет
				1 000,00
-1	- 230,00			770,00
2	354,20	-1	-177,10	947,10
-1	-217,83	2	435,67	1 164,93
2	535,87			1 700,80
-1	-391,18	-1	-391,18	918,43
2	422,48	2	422,48	1 763,39

Рассмотрим теперь ситуацию, когда А торгует отдельно от Б. В этом случае мы де­лаем 1 ставку на каждые 4 единицы на комбинированном счете для системы А (так как это оптимальное f для одной игры). В игре с одновременными ставками мы все равно ставим 1 единицу на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета как для А, так и для Б. Отметьте, что независимо от того, отдельная это ставка или од­новременная ставка по А и Б, мы применяем то оптимальное f, которое увеличи­вает доход при бесконечном повторении ставок.

	А		Б	Комбинированный счет
				1 000,00
-1	- 250,00			750,00
2	345,20	-1	-172,50	922,50
-1	-212,17	2	424,35	1 134,67
2	567,34			1 702,01
-1	-391,46	-1	-391,46	919,09
2	422,78	2	422,78	1 764,65

Как видите, с помощью этого метода мы получаем небольшой выигрыш, и чем больше сделок проходит, тем больше этот выигрыш. Тот же принцип применяется к торговле портфелем, где не все компоненты портфеля находятся на рынке в определенный момент времени. Вам следует торговать на оптималь­ных уровнях для комбинации компонентов (или одного компонента), чтобы получить в итоге оптимальный рост, как будто этой комбинацией компонентов (или одним компонентом) придется торговать бесконечное количество раз в будущем.

Потеря эффективности при одновременных ставках или торговле портфелем

Давайте вернемся к нашей игре с броском монеты 2:1. Допустим, мы собираемся одновременно сыграть в две игры: А и Б, — и существует нулевая корреляция между результатами этих двух игр. Оптимальные f для такого случая соответству­ют ставке в 1 единицу на каждые 4,347826 единицы на балансе счета, когда игры проводятся одновременно. Отметьте, что при начальном счете в 100 единиц мы заканчиваем с результатом в 156,86 единицы:

Таблица V
Система А Сделка P&L	Система Б
Сделка	P&L	Счет
Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 4,347826 единицы на счете:			100,00
-1 -23,00	-1	-23,00	54,00
2 24,84	-1	-12,42	66,42
-1 -15,28	2	30,55	81,70
2 37,58	2	37,58	156,86

Теперь давайте рассмотрим систему В. Она будет такой же, как система А и Б, только мы будем играть в эту игру без одновременного ведения другой игры. Мы сыграем 8 раз, но не 2 игры по 4 раза, как в прошлом примере. Теперь наше оптимальное f - это ставка 1 единицы на каждые 4 единицы на балансе счета. Мы, как и прежде, имеем те же 8 сделок, но лучший конечный резуль­тат (Таблица VI). Мы получили лучший конечный результат не потому, что оптимальные f не­много отличаются (оба значения f находятся на соответствующих оптимальных уровнях), а потому, что есть небольшая потеря эффективности при одновремен­ных ставках. Неэффективность является результатом невозможности изменения структуры вашего счета (т. е. рекапитализации) после каждой отдельной ставки, как в игре только по одной рыночной системе. В случае с двумя одновременными

ставками вы можете рекапитализировать счет только 3 раза, в то время как в слу­чае с 8 отдельными ставками вы рекапитализируете счет 7 раз. Отсюда возникает потеря эффективности при одновременных ставках (или при торговле портфелем рыночных систем).

Система В Счет

Сделка	P&L	100, 00
-1	-25	75
2	37, 5	112, 5
-1	-28, 13	84, 38
2	42, 19	126, 56
2	63, 28	189, 84
2	94, 92	284, 77
-1	-71, 19	213, 57
-1	-53, 39	160, 18

Оптимальное f соответствует единице на каждые 4 единице на счете

Мы рассмотрели случай, когда одновременные ставки не были коррелирова-ны. Давайте посмотрим, что произойдет при положительной корреляции (+1,00):

Таблица VII
Система А		Система Б
	Сделка	P&L		Сделка	P&L		Счет
							100,00
	-1	-12,50		-1	-12,50		75,00
	2	18,75		2	18,75		112,50
	-1	-14,06		-1	-14,06		84,38
	2	21,09		2	21,09		126,56

Оптимальное f соответствует единице на каждые 8 единице на счете

Отметьте, что после 4 одновременных игр при корреляции между рыночными системами +1,00 мы увеличили первоначальный счет 100 единиц до 126,56. Это соответствует TWR = 1,2656, или среднему геометрическому (даже если это ком­бинированные игры) 1,2656 ^ (1/4) =1,06066. Теперь вернемся к случаю с одной ставкой. Обратите внимание, что после 4 игр мы получим 126,56 при начальном счете в 100 единиц. Таким образом, среднее геометрическое равно 1,06066. Это говорит о том, что скорость роста та­кая же, как и при торговле с оптимальными долями на абсолютно коррелиро­ванных рынках. Как только коэффициент корреляции опускается ниже +1,00, скорость роста повышается. Таким образом, мы можем утверждать, что при комби­нировании рыночных систем ваша скорость роста никогда не будет меньше, чем в случае одиночной ставки по каждой системе, независимо от того, насколько высоки корреля­ции, при условии, что добавляемая рыночная система имеет положительное арифмети­ческое математическое ожидание. Вспомним первый пример из этого раздела, когда 2 рыночные системы имели нулевой коэффициент корреляции. Эта рыночная система увеличила счет 100 единиц до 156,86 после 4 игр при среднем геометрическом (156,86/ / 100) ^ (1/4) = 1,119. Теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент кор­реляции равен -1,00. Так как при таком сценарии никогда не бывает проигрыш­ной игры, оптимальная сумма ставки является бесконечно большой суммой (дру­гими словами, следует ставить 1 единицу на бесконечно малую сумму баланса сче­та). Для примера мы сделаем 1 ставку на каждые 4 единицы на счете и посмотрим на полученные результаты: