Математика управления капиталом (стр. 27 )

Рисунок 3-15 Нормальное и логарифмически нормальное распределения

Логарифмически нормальное распределение, рисунок 3-15, работает точно так же, как и нормальное распределение, за тем исключением, что при логарифми­чески нормальном распределении мы имеем дело с процентными изменениями, а не абсолютными. Теперь рассмотрим движение вверх. В соответствии с логарифмически нормальным распределением движение с 10 долларов за акцию до 20 долларов за акцию анало­гично движению с 5 долларов до 10 долларов за акцию, так как оба эти движения представляют повышение на 100%. Это не означает, что мы не будем использовать нормальное распределение. Мы просто познакомимся с логарифмически нормаль­ным распределением, покажем его отличие от нормального (логарифмически нор­мальное распределение использует процентные, а не абсолютные изменения цены) и увидим, что обычно именно оно используется при обсуждении ценовых движений или в том случае, когда нормальное распределение ограничено снизу нулем. Для ис­пользования логарифмически нормального распределения необходимо преобразо­вывать данные, с которыми вы работаете, в натуральные логарифмы1.

Преобразованные данные будут нормально распределяться, если необработан­ные данные распределялись логарифмически нормально. Если мы рассматриваем распределение изменений цены и оно логарифмически нормальное, то можно ис­пользовать нормальное распределение. Сначала мы должны разделить каждую цену закрытия на предыдущую цену закрытия. Допустим, мы рассматриваем распределе­ние ежемесячных цен закрытия (можно использовать любой временной период: ча­совой, дневной, годовой и т. д.). Предположим, цены закрытия последних пяти меся­цев — 10 долларов, 5 долларов, 10 долларов, 10 долларов и 20 долларов. Это соответ­ствует понижению на 50% во втором месяце, повышению на 100% в третьем месяце, повышению на 0% в четвертом месяце и повышению на 100% в пятом месяце. Соот­ветственно мы получим частные 0,5; 2; 1 и 2 по ежемесячным изменениям цен со второго по пятый месяцы. Это то же, что и HPR нашей последовательности. Теперь мы должны преобразовать их в натуральные логарифмы, чтобы изучить полученное распределение на основе математического аппарата нормального распределения. Таким образом, натуральный логарифм 0,5 равен -0,6931473, ln(2) =0,6931471 и ln(1) = 0. Теперь к распределению этих преобразованных данных мы можем приме­нять математические методы, относящиеся к нормальному распределению.

Параметрическое оптимальное f

Мы немного познакомились с математикой нормального и логарифмически нор­мального распределения и теперь посмотрим, как находить оптимальное f по нормально распределенным результатам. Формула Келли является примером параметрического оптимального f, где f явля­ется функцией двух параметров. В формуле Келли вводные параметры — это про­цент выигрышных ставок и отношение выигрыша к проигрышу. Однако формула Келли даст вам оптимальное f только тогда, когда возможные результаты имеют бернуллиево распределение. Другими словами, формула Келли даст правильное оптимальное f, когда есть только два возможных результата, в противном случае, как, например, в нормально распределенных результатах, формула Келли не даст вам правильное оптимальное f2.

Параметрические методы гораздо мощнее эмпирических. Рассмотрим си­туацию, которую можно полностью описать бернуллиевым распределением. Мы можем рассчитать оптимальное f либо из формулы Келли, либо с помо­щью эмпирического метода. Допустим, мы выигрываем 60% времени. Предполо­жим, мы бросаем несимметричную монету, и при долгой последовательности 60% бросков будут приходиться на лицевую сторону. Поэтому мы каждый раз ставим на то, что монета будет выпадать на лицевую сторону, и выигрыш составляет 1:1. Из формулы Келли следует, что надо ставить 0,2 нашего счета. Также допустим, что из прошлых 20 бросков 11 выпали лицевой стороной, а 9 обратной. Если бы мы использовали эти 20 сделок в качестве вводных данных для эмпирического метода расчета f, результатом было бы то, что следует рисковать 0,1 нашего счета при каждой следующей ставке. Какое значение правильно, 0,2, полученное параметрическим методом (фор­мула Келли с бернуллиевым распределением), или 0,1, найденное эмпирически на основе 20 последних бросков? Правильным ответом является значение 0,2, найденное с помощью параметрического метода. Причина в том, что каждый последующий бросок имеет 60% вероятность выпасть лицевой стороной, а не 55% вероятность, что следует из результатов 20 последних бросков. Хотя мы рассмат­риваем только 5% отклонение в вероятности, то есть 1 бросок из 20, результаты после применения разных значений f будут сильно отличаться. Вообще парамет­рические методы внутренне более точны, чем эмпирические (при условии, что мы знаем распределение результатов). Это первое преимущество параметричес­кого метода. Самый большой недостаток параметрических методов состоит в том, что мы должны знать, каким распределение результатов будет в течение длитель­ного времени. Второе преимущество состоит в том, что для эмпирического метода требуют­ся исторические данные, в то время как для параметрического в этом нет необхо­димости. Кроме того, эта история должна быть довольно протяженной. В только

что рассмотренном примере можно предположить, что, если бы у нас была исто­рия 50 бросков, мы бы получили эмпирическое оптимальное f ближе к 0,2. При истории 1000 бросков оно было бы еще ближе. Тот факт, что эмпирические методы требуют довольно большого объема исторических данных, свел все их использование к механическим торговым системам. Тот, кто в торговле использует что-либо отличное от механических торговых систем, будь то волны Эллиотта или фундаментальные данные, прак­тически не имеет возможности использовать метод оптимального f. С парамет­рическими методами дело обстоит иначе. Например, тот, кто желает слепо сле­довать какому-нибудь рыночному гуру, имеет теперь возможность использо­вать оптимальное f. В этом состоит третье преимущество параметрического мето­да — он может использоваться любым трейдером на любом рынке. В том случае, когда не используется механическая торговая система, следует помнить о важном допущении. Оно состоит в том, что будущее распределение прибылей и убытков будет напоминать распределение в прошлом (поэтому мы и рассчитываем оптимальное f), это может оказаться менее вероятным, чем в случае использования механической системы.

Все вышесказанное заставляет по-иному взглянуть на ожидаемую работу лю­бого не полностью механического метода. Даже профессионалы («фундамента-листы», последователи Ганна или Эллиотта и т. п.), использующие такие методы, обречены на неудачу, если они находятся далеко справа от пика кривой f. Если они слишком далеко слева от пика, то получат геометрически более низкие при­были, чем их опыт и навыки в этой области позволяют. Более того, практики не полностью механических методов должны понимать, что все сказанное об опти­мальном f и чисто механических методах будет иметь прямое отношение и к их системам. Это надо учитывать при использовании подобных методов. Помните, что проигрыши могут быть значительными, но это не означает, что метод не сле­дует применять.

Четвертое и, возможно, наибольшее преимущество параметрического метода определения оптимального f состоит в том, что параметрический метод позволя­ет создавать модели «что если». Например, вы решили торговать по рыночной системе, которая работала достаточно успешно, но хотите подготовиться к ситуа­ции, когда эта рыночная система прекратит хорошо работать. Параметрические методы позволяют варьировать ваши вводные параметры для отражения возмож­ных изменений, и благодаря этому показать, когда рыночная система прекратит хорошо работать. Еще раз повторюсь: параметрические методы намного мощнее эмпирических.

Зачем вообще использовать эмпирические методы? Они интуитивно более очевидны, чем параметрические. Следовательно, эмпирические методы необ­ходимо изучать до перехода к параметрическим. Мы уже достаточно подробно рассмотрели эмпирический подход и поэтому готовы изучать параметрические методы.

Распределение торговых прибылей и убытков (P&L)

Рассмотрим следующую последовательность 232 торговых прибылей и убытков в пунктах. Не имеет значения, к какому товару или системе относится этот поток данных — это может быть любая система на любом рынке.

№ сделки P&L	№ сделки P&L	№ сделки P&L	№ сделки	P&L
1. 0,18	25. 0,15	49. 0,17	73.	0,22
2. -1,11	26. 0,15	50. -1,53	74.	0,92
3. 0,42	27. -1,14	51. 0,15	75.	0,32
4. -0,83	28. 1,12	52. -0,93	76.	0,17
5. 1,42	29. -1,88	53. 0,42	77.	0,57
6. 0,42	30. 0,17	54. 2,77	78.	0,17
7. -0,99	31. 0,57	55. 8,52	79.	1,18
8. 0,87	32. 0,47	56. 2,47	80.	0,17
9. 0,92	33. -1,88	57. -2,08	81.	0,72
10. -0,4	34. 0,17	58. -1,88	82.	-3,33
11. -1,48	35. -1,93	59. -1,88	83.	-4,13
12. 1,87	36. 0,92	60. 1,67	84.	-1,63
13. 1,37	37. 1,45	61. -1,88	85.	-1,23
14. -1,48	38. 0,17	62. 3,72	86.	1,62
15. -0,21	39. 1,87	63. 2,87	87.	0,27
16. 1,82	40. 0,52	64. 2,17	88.	1,97
17. 0,15	41. 0,67	65. 1,37	89.	-1,72
18. 0,32	42. -1,58	66. 1,62	90.	1,47
19. -1,18	43. -0,5	67. 0,17	91.	-1,88
20. -0,43	44. 0,17	68. 0,62	92.	1,72
21. 0,42	45. 0,17	69. 0,92	93.	1,02
22. 0,57	46. -0,65	70. 0,17	94.	0,67
23. 4,72	47. 0,96	71. 1,52	95.	0,67
24. 12,42	48. -0,88	72. -1,78	96.	-1,18

			Продолжение
№ сделки	P&L	№ сделки	P&L	№ сделки	P&L	№ сделки P&L
97.	3,22	126.	-1,83	155.	0,37	184. 0,57
98.	-4,83	127.	0,32	156.	0,87	185. 0,35
99.	8,42	128.	1,62	157.	1,32	186. 1,57
100.	-1,58			158.	0,16	187. -1,73
101.	-1,88	130.	1,02	159.	0,18	188. -0,83
102.	1,23	131.	-0,81	160.	0,52	189. -1,18
103.	1,72	132.	-0,74	161.	-2,33	190. -0,65
104.	1,12	133.	1,09	162.	1,07	191. -0,78
105.	-0,97	134.	-1,13	163.	1,32	192. -1,28
106.	-1,88	135.	0,52	164.	1,42	193. 0,32
107.	-1,88	136.	0,18	165.	2,72	194. 1,24
108.	1,27	137.	0,18	166.	1,37	195. 2,05
109.	0,16	138.	1,47	167.	-1,93	196. 0,75
110.	1,22	139.	-1,07	168.	2,12	197. 0,17
111.	-0,99	140.	-0,98	169.	0,62	198. 0,67
112.	1,37	141.	1,07	170.	0,57	199. -0,56
113.	0,18	142.	-0,88	171.	0,42	200. -0,98
114.	0,18	143.	-0,51	172.	1,58	201. 0,17
115.	2,07	144.	0,57	173.	0,17	202. -0,96
116.	1,47	145.	2,07	174.	0,62	203. 0,35
117.	4,87	146.	0,55	175.	0,77	204. 0,52
118.	-1,08	147.	0,42	176.	0,37	205. 0,77
119.	1,27	148.	1,42	177.	-1,33	206. 1,10
120.	0,62	149.	0,97	178.	-1,18	207. -1,88
121.	-1,03	150.	0,62	179.	0,97	208. 0,35
122.	1,82	151.	0,32	180.	0,70	209. 0,92
123.	0,42	152.	0,67	181.	1,64	210. 1,55
124.	-2,63	153.	0,77	182.	0,57	211. 1,17
125.	-0,73	154.	0,67	183.	0,24	212. 0,67

			Продолжение
№ сделки P&L	№ сделки	P&L	№ сделки	P&L	№ сделки P&L
213. 0,82	218.	0,25	223.	-1,30	228.	1,80
214. -0,98	219.	0,14	224.	0,37	229.	2,12
215. -0,85	220.	0,79	225.	-0,51	230.	0,77
216. 0,22	221.	-0,55	226.	0,34	231.	-1,33
217. -1,08	222.	0,32	227.	-1,28	232.	1,52

Если мы хотим определить приведенное параметрическое оптимальное f, нам при­дется преобразовать эти торговые прибыли и убытки в процентные повышения и понижения (основываясь на уравнениях с (2.10а) по (2.10в)). Затем мы преобразуем эти процентные прибыли и убытки, умножив их на текущую цену базового инстру­мента. Например, P&L № 1 составляет 0,18. Допустим, что цена входа в эту сделку была 100,50. Таким образом, процентное повышение по этой сделке будет 0,18/100,50 = 0,001791044776. Теперь предположим, что текущая цена базового инст­румента составляет 112,00. Умножив 0,001791044776 на 112,00, мы получаем приведенное P&L = 0,2005970149. Чтобы получить полные приведенные данные, необходимо проделать эту процедуру для всех 232 торговых прибылей и убытков.