Учебно-методический комплекс по дисциплине “Моделирование процессов бурения ” (стр. 9 )

Таблица 6.1 Степени 2-х (основания двоичной системы)

Показатель степени	Степень 2-х	То же, записанное в 2-ичной системе
-3	1/8 (0.125)	0.001
-2	1/4 (0.25)	0.01
-1	1/2 (0.5)	0.1
0	1	1
1	2	10
2	4	100
3	8	1000
4	16	10 000
5	32	100 000
6	64	1000 000
7	128	10 000 000
8	256	100 000 000
9	512	1000 000 000
10	1024	10 000 000 000

Таблица 6.2 Нахождение двоичного аналога десятичного числа 813

Позиция	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Цифра	1	1	0	0	1	0	1	1	0	1

Повторим уже проведенную операцию. Наибольшая степень двойки, способная полностью уместиться в числе 301, это восьмая, а именно число 256. Под восьмой позицией в таблице 6.2 ставим еще единицу и таким образом находим второе слева слагаемое. Остальные слагаемые составляют новый остаток, равный 813– 512–256 = 45 (или 301 – 256 = 45).

Наибольшая степень двойки, способная полностью разместиться в числе 45, это пятая, – число 32. Поэтому под пятой позицией в таблице 6.2 ставим еще единицу. и, таким образом находим пятое слева слагаемое в формуле (6.1)

Т. к. ни седьмая, ни шестая степени двойки в остатке 45 не умещаются (превышают его), то это значит, что соответствующие члены формулы (6.1) равны 0. Для этого должны быть равны нулю коэффициенты (цифры) . Поэтому под позициями 7 и 6 таблицы 6.2 ставим нули.

Аналогично находим и все остальные двоичные цифры: 45 – 32 =13. В этом остатке умещается третья степень двойки 8 – ставим 1 в 3-ю позицию и 0 в 4-ю; 13 – 8 = 5. Здесь умещается вторая степень двойки 4 – единица во 2-ю позицию; 5– 4 = 1 – это нулевая степень двойки, откуда появляется 1 в нулевой и 0 в 1-й позициях.

Двоичная система счисления дала науке о компьютерах такие основополагающие понятия как бит и байт. Битом называют двоичные цифры, т. е. нуль либо единицу. Восемь битов называют байтом (“двоичным словом”), – например 10001101.

Над числами в двоичной системе (говорят также “в двоичном коде”) легко производить четыре арифметических действия.

Как и принято при сложении “столбиком”, процесс сложения начинают с самого низкого разряда (позиции), которым в примере – табл. 6.3 – является нулевой разряд. В этом разряде имеем 1+ 0 =1 (что и записано в строке “сумма”). Далее, в первом разряде имеем 1 + 1= 2. Однако цифры 2 в двоичной системе нет. Поэтому осуществляется перенос единицы в более высокий второй разряд (что показано в строке “перенос”), в первом же разряде остается нуль. То же имеет место в 3-ей и 4-й позициях.

Процедура сложения

Таблица 6.3 Сложение двоичных чисел, означающих 11+10 =21

Позиция (разряд)	4	3	2	1	0
Перенос в больший разряд	1		1
Первое слагаемое		1	0	1	1
Второе слагаемое		1	0	1	0
Сумма	1	0	1	0	1

В десятичной системе сложение выполняется аналогично. Общим для обеих систем является то, что если сумма в данном разряде превышает основание системы (10 в десятичной системе и 2 в двоичной), то в этом разряде остается разность между суммой и основанием, а в следующий разряд переносится единица.

Таблица 6.4 Сложение в десятичной системе

Позиция (разряд)	3	2	1	0
Перенос в больший разряд	1	1
Первое слагаемое		7	5	1
Второе слагаемое		4	5	0
Сумма	1	2	0	1

Процедура вычитания

Таблица 6.5 Вычитание двоичных чисел, означающих 19 –14 = 5

Позиция (разряд)	4	3	2	1	0
Перенос в низший разряд		2	2
Уменьшаемое	1	0	0	1	1
Вычитаемое		1	1	1	0
Разность	0	0	1	0	1

Как и сложение, процесс вычитания начинают с нулевого разряда. В этом разряде имеем 1– 0 = 1 (что и записано в строке “разность”). Далее, в первом разряде имеем 1–1 = 0. Во втором и третьем разрядах чтобы вычесть 1 из 0, производим перенос единицы из 4-го разряда уменьшаемого (где остается 0) в его 3-й разряд, где эта единица представляет собой двойку (основание степени). Из этой двойки одну единицу переносим во второй разряд, где она опять же становится двойкой. Вычтя из нее единицу получаем во втором разряде 1. В третьем разряде из оставшейся от двойки после переноса единицы вычитаем 1 и получаем 0. Итоговый результат показан в строке “разность”.

Для сравнения в табл. 6.6 приводится вычитание столбиком в десятичной системе. Общая особенность вычитания в позиционных системах заключается в том, что если уменьшаемое в данном разряде меньше вычитаемого, то из более высокого разряда заимствуется единица, которая превращается в основание системы (10 в десятичной системе и 2 в двоичной).

Таблица 6.6 Вычитание в десятичной системе

Позиция (разряд)	2	1	0
Перенос в низший разряд		10	10
Уменьшаемое	1	0	3
Вычитаемое		4	8
Разность	0	5	5

Процедура умножения

Множимое поочередно умножается на цифры, стоящие в каждом разряде множителя (начиная с нулевого). Получаемые результаты (как и в десятичной системе) записываются один под другим со сдвигом влево на одну позицию

Поскольку двоичная система имеет только две цифры: 1 и 0, то результат умножения на них может представлять собой либо повторение самого множимого – при умножении на единицу, либо нуль (при умножении на нуль).

После того как умножение множимого на отдельные позиции множителя закончено, выполняют суммирование соответствующих строк.

Роль строки с нулевым результатом (в примере – это строка с умножением на нуль во втором разряде множителя) состоит в том, следующая значимая строка (относящаяся к 3-му разряду множителя), оказывается сдвинутой, по отношению к предыдущей значимой строке (относящейся к 1-му разряду) не на одну, а на две позиции. Что практически и делают, пропуская саму “нулевую” строку (как в таблице 6.8)

Таблица 6.7 Умножение двоичных чисел, означающих 22 х 11 = 242

Позиция (разряд)	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Множимое					1	0	1	1	0
Множитель						1	0	1	1
Перенос в высший разряд			1	1	1	1
Произведение на 0-й разряд					1	0	1	1	0
Произведение на 1-й разряд				1	0	1	1	0
Произведение на 2-й разряд			0	0	0	0	0
Произведение на 3-й разряд		1	0	1	1	0
Сумма		1	1	1	1	0	0	1	0

Таблица 6.8 Умножение десятичных чисел