Сопротивление материалов (стр. 13 )

. (6.11)

Поскольку выражается через диаметр сечения (формулы 6.6, 6.7), то из условия (6.11) можно найти либо требуемый диаметр вала (при заданном ), либо предельную величину крутящего момента (для заданного диаметра).

В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали) является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости при кручении имеет вид:

, (6.12)

где - допускаемый относительный угол закручивания.

П р и м е р 6.1.

Построить по длине стального ступенчатого стержня (рис. 6.4) эпюры крутящих моментов и касательных напряжений, определить размер диаметра d1 из условия прочности и жесткости и угол поворота торцевого сечения по отношению к сечению в заделке.

Исходные данные:

М1 = 600 Н·м, М2 = 900 Н·м, d2 = 50 мм, а = 0,3 м, b = 0,5 м, с = 1,2 м.

Допускаемые напряжения для материала стержня на срез [] = 90 МПа, допускаемый угол закручивания [] = 0,8 град/м, модуль упругости стали при сдвиге 8·104 МПа.

Р е ш е н и е.

Используем метод сечений. Разбиваем стержень на 3 участка (I, II, III ). Искомый момент в рассматриваемом сечении находим как сумму внешних моментов (с учетом знака), приложенных справа от рассматриваемого сечения.

Вначале рассмотрим участки стержня I и II , для которых задан диаметр (d2).

Участок I ():

Определяем крутящий момент как сумму внешних моментов, приложенных справа от произвольного сечения рассматриваемого участка.

Н·м.

Найдем величину полярного момента инерции сечения стержня

.

Угол поворота сечения относительно заделки на участке I с координатой x будет:

Участок II ():

Н·м.

Для третьего участка вначале определяем крутящий момент и строим эпюру (рис. 6.5).

Участок III ():

Н·м.

Рис. 6.5. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений

и углов поворота поперечных сечений

Определим требуемый диметр вала d1 по двум условиям:

1. По условию прочности:

Используя условие прочности при кручении стержня круглого поперечного сечения (6.11) и выражение полярного момента сопротивления через диаметр вала (6.6), можно записать

,

откуда требуемый диаметр стержня будет

.

2. По условию жесткости:

Поскольку вычисляемый погонный угол закручивания по формуле (6.12) получается в радианах, а допускаемый угол закрутки в условии задачи выражен в градусах, то определим допускаемую величину угла [] для единичной длины (1 мм), в радианах:

.

Используя условие жесткости при кручении круглого вала единичной длины (6.12) и учитывая, что , запишем:

.

Тогда, требуемый диаметр по условию жесткости будет

Из двух значений диаметра d1 принимаем больший, округляя его до целой величины : d1 = 48 мм.

Полярный момент инерции поперечного сечения стержня на третьем участке будет

Угол поворота сечения с координатой x относительно заделки будет:

На рис. 6.5 изображена эпюра углов поворота поперечных сечений стержня из которой видно, что угол поворота торцевого сечения (x = c) по отношению к сечению в заделке составляет

Поскольку теперь известны скручивающие моменты и диаметры стержня на всех участках, то определяем касательные напряжения на каждом из участков и строим эпюру касательных напряжений условно принимая знаки для касательных напряжений такими же, как и знаки крутящих моментов.

Участок I ():

МПа.

Участок II ():

МПа.

Участок III ():

МПа.

На рис. 6.5 изображена эпюра касательных напряжений по длине стержня.

Контрольные вопросы к 6 разделу

1.  При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?

2.  Как вычисляется момент, передаваемый шестерней, по заданной мощности и числу оборотов в минуту?

3.  Какое правило знаков принято для крутящих моментов?

4.  Что такое эпюры крутящих моментов и как они строятся?

5.  Что называется полным и что называется, относительны углом закручивания бруса?

6.  Какие напряжения возникают в поперечном сечении круглого бруса при кручении и как они направлены?

7.  Выведите формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого бруса.

8.  Что называется полярным моментом сопротивления, в каких единицах он измеряется и чему равен (для круга и кольца)?

9.  Чем объясняется, что брус кольцевого сечения при кручении экономичнее, чем сплошного?

10.  Как производится расчет скручиваемого бруса на прочность?

11.  Как выбираются допускаемые напряжения при расчете на кручение?

12.  Как производится расчет скручиваемого бруса на жесткость?

13.  Как вычисляются напряжения в цилиндрической винтовой пружине? На каких допущениях основана формула для вычисления напряжений?

14.  Как определяются деформации цилиндрической винтовой пружины? Выведите соответствующую формулу.

15.  В каких случаях задача расчета прямого стержня на кручение является статически неопределимой.

Раздел 7. Плоский поперечный изгиб прямых брусьев

7.1. Общие сведения

Плоские поперечные сечения балки (1-1 и 2-2, рис. 7.1,а) при изгибе наклоняются друг к другу (1¢-1¢ и 2¢-2¢, рис.7.1,б), оставаясь при этом плоскими и перпендикулярными к ее искривленной оси. Волокна балки с выпуклой стороны удлиняются, а с вогнутой – укорачиваются. Предполагается, что отдельные волокна не давят друг на друга, следовательно, каждое из них испытывает простое растяжение «+» или сжатие «–».

Рис.7.1. Изгиб бруса

Волокна, которые при искривлении не изменяют своей длины, образуют нейтральный слой (рис. 7.1,б, в). Пересечение нейтрального слоя поперечным сечением балки называется нейтральной осью сечения (ось у, рис.7.1,в).

В общем случае изгиба в данном поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающие моменты М и поперечные силы Q, которые определяются методом сечений при рассмотрении равновесия оставленной части бруса.

Изгибающим моментом Мх в данном сечении (рис. 7.2) называется сумма моментов всех внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести этого сечения. Изгибающий момент считается положительным, если он изгибает балку выпуклостью вниз (слева от сечения по часовой стрелке, справа – против).