Сопротивление материалов (стр. 3 )

Понятия о деформации и напряжении являются основными понятиями сопротивления материалов.

Контрольные вопросы к 2 разделу.

1.  Какие задачи решает наука о сопротивлении материалов?

2.  Что называется деформацией тела? Что такое упругость тела?

3.  По каким признаками как классифицируются нагрузки?

4.  Какая деформация называется упругой и какая пластической?

5.  Какие основные требования предъявляются к проектируемым машинам и сооружениям?

6.  Как классифицируются нагрузки, действующие на части машин и сооружений?

7.  Что называется брусом, пластинкой и тонкостенной оболочкой?

8.  Какие основные виды деформаций вызываются внешними силами?

9.  В чем заключается метод сечения?

10.  Что называется напряжением?

11.  Какова размерность напряжения?

12.  Какое напряжение называется нормальным, и какое касательным?

Раздел 3. Растяжение и сжатие

Растяжение и сжатие весьма часто встречаются в элементах кораблестроительных конструкций, деталях машин и агрегатов. Например, растяжение возникает в буксировочном тросе при буксировке баржи, сжатие возникает в шатуне поршневой группы двигателя при рабочем ходе поршня и т. д.

В зависимости от способов закрепления стержней и характера воздействия нагрузок могут возникнуть различные виды растяжения или сжатия.

Если внутренние силы в поперечном сечении стержня сводятся только к одному силовому фактору – продольной силе N (иначе называемой нормальной силой, так как она перпендикулярна поперечному сечению стержня), а все остальные внутренние силы равны нулю, то имеет место чистое (центральное) растяжение или сжатие.

3.1. Внешние и внутренние силы

Внешние силы, вызывающие растяжение или сжатие, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть также направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси.

Для определения внутренних продольных сил применяется метод сечений, который заключается в том, что стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Взаимодействие частей между собой заменяется продольной силой N и из условия равновесия какой-либо из двух частей определяется значение этой силы. Продольная сила в данном поперечном сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на продольную ось стержня (часто принимаемой за ось х).

Рис. 3.1. К определению внутренних сил в стержне

Условимся силу N считать положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения), и отрицательной, если она вызывает - сжатие (направлена к сечению).

В тех случаях, когда направление силы N неизвестно, целесообразно принять ее положительной (т. е. направить от сечения как на рис. 3.1). Если при решении уравнения равновесия сила N получится со знаком «+», то стержень в данном сечении будет растянут, если со знаком «–», то — сжат. Так, например, для определения нормальной силы в сечении т-п стержня, изображенного на рис. 3.1,а рассмотрим равновесие правой отсеченной части (рис. 3.1, б):

, (3.1)

где – сумма проекций всех сил на ось х, приложенных к правой части стержня;

– нормальная сила в сечении т-п , отстоящей на расстоянии х от начала оси.

Из (3.1) находим неизвестную силу

. (3.2)

Видно, что нормальная сила постоянна и не зависит от координаты х (в любом поперечном сечении стержня равна Р.) Знак «+» показывает, что стержень растянут.

В сложных случаях, когда сечение стержня меняется по длине и количество и характер сил может быть произвольным, целесообразно строить эпюру внутренних продольных сил. Эпюрой продольной силы Nх называется график, каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении.

Эпюра обычно строится на базисной линии, проведенной параллельно оси стержня.

Для построения эпюры Nх приходится устанавливать закон изменения продольной силы по длине стержня и определять величины Nх в нескольких поперечных сечениях.

3.2. Напряжения, деформации и перемещения

Зная величину продольного усилия Nх в заданном сечении и площадь стержня в этом же сечении, можно определить нормальные напряжения () по зависимости

(3.2)

где площадь поперечного сечения стержня в сечении х.

Правило знаков для принимается то же, что и для Nx («+» при растяжении, «–» при сжатии).

Рассмотрим перемещения и деформации, возникающие при растяжении и сжатии призматических стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются.

Пусть имеется призматический стержень с постоянной по длине площадью (рис. 3.2,а). Левый конец стержня закреплен в жесткой заделке. Мысленно наметим два плоских поперечных сечения 1 и 2, с расстоянием между ними а.

После приложения к стержню растягивающей силы Р (рис. 3.2,б), в нем произойдут деформации растяжения, а длина стержня увеличится на величину . Сечения 1 и 2 переместятся по отношению к их исходному положению на некоторые расстояния и . Начальное расстояние между сечениями а тоже изменится на величину .

Изменение первоначальной длины стержня называется полным абсолютным удлинением при растяжении, которое измеряется в единицах длины (м).

Рис. 3.2. К определению перемещений и деформаций при растяжении

Абсолютное удлинение, очевидно, зависит от первоначальной длины участка стержня: – для длины стержня ; – для длины – а. Поэтому, более удобной мерой оценки изменения состояния стержня после приложения силы, является относительная деформация равная отношению удлинения стержня на данной длине к его первоначальной длине

; . (3.3)

Поскольку сечение стержня и внутренне усилие не меняются по длине стержня, то .

Относительное удлинение не имеет размерности, это отвлеченное число и в некоторых случаях выражается в процентах от первоначальной длины:

.

При сжатии стержня он будет испытывать относительные деформации укорочения (), и, следовательно, будет укорачиваться.

Аналогично найдутся поперечные деформации (рис. 3.2,б) в направлении размера

.

Здесь знак «–» поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине при простом растяжении или сжатии, называют коэффициентом Пуассона

. (3.4)

Коэффициент Пуассона (безразмерная величина) назван по имени французского ученого, впервые в начале XIX в. обратившего внимание на постоянство этого отношения. Пуассон принимал этот коэффициент равным 0,25 и одинаковым для всех материалов. Дальнейшие эксперименты показали, что коэффициент Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах упругих деформаций. Для различных материалов коэффициент Пуассона лежит в пределах .

Между напряжениями и деформациями существует зависимость, известная под названием закона Гука. Для центрального растяжения (сжатия) она имеет вид