Сопротивление материалов (стр. 16 )

Рассмотрим, как определяются перемещения по методу начальных параметров для заданной балки.

Запишем уравнение упругой линии для крайнего правого участка балки (участок VI). Так как распределенная нагрузка обрывается в точке F, продлим ее до конца балки, одновременно вводя компенсирующую нагрузку такой же интенсивности (рис. 7.8).

Тогда уравнение упругой линии для рассматриваемого участка () будет иметь вид

 

Уравнение (7.7) записано с учетом того, что статические начальные параметры нам уже известны:

Для определения геометрических начальных параметров имеем опорные условия:

при ,

при .

Из первого опорного условия следует, что

.

Второе опорное условие дает ()

Теперь уравнение упругой линии и углов поворота сечений можно записать для любого участка балки, учитывая формулы (7.5), (7.6) и пояснения к ним. Так, например, для первого участка () уравнения прогибов и углов поворотов будут иметь такой вид:

Задаваясь несколькими значениями х на рассматриваемом промежутке можно построить упругую линию и углы поворота сечений балки в виде графиков (рис. 7.9).

Для второго участка () уравнения прогибов и углов поворотов будут иметь такой вид:

и так далее.

Учитывая современные возможности вычислительной техники все расчеты целесообразно выполнять на компьютере, используя готовые математические программные продукты, например, математический редактор MathCad.

На рисунке 7.10 приведены зависимости прогибов и углов поворота сечений на всей длине рассмотренной балки, полученные с помощью упомянутой программы.

5. Проверка жесткости балки.

Проверяем пригодность подобранного профиля балки по условию жесткости (формула 5.3).

Наибольший (либо наименьший) прогиб балки будет там, где угол поворота сечения . Положение этого сечения можно найти, приравняв нулю правую часть уравнения (5.5). Однако, имея график зависимости (см. рис. 5.8,б) можно определить значение искомой абсциссы при которой . Из рисунка видно, что , если м. Воспользовавшись уравнением прогибов для второго участка и взяв , получим

Тогда максимальный прогиб балки в этом сечении будет

,

т. е. жесткость балки в пределах пролета достаточна.

Учитывая, что балка имеет консоль необходимо проверить, не превысит ли прогиб консоли допустимую величину прогиба:

,

а допустимый прогиб консоли будет

,

Следовательно, прогиб консоли превышает допустимый, поэтому необходимо взять двутавр следующего номера (№27) и выполнить повторно требуемые расчеты. Предоставляем курсантам сделать это самостоятельно.

Контрольные вопросы к 7 разделу.

1.  Что такое прямой изгиб и косой изгиб?

2.  Что такое чистый и поперечный изгиб?

3.  Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях бруса в общем случае действия на него плоской системы сил?

4.  Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?

5.  Как вычисляется изгибающий момент в поперечном сечении бруса?

6.  Как вычисляются поперечная и продольная силы в поперечном сечении бруса?

7.  Какие уравнения используются для определения значения опорных реакций?

8.  Как проверить правильность определения опорных реакций?

9.  Что такое эпюра поперечных сил, эпюра продольных сил и эпюра изгибающих моментов? Что представляет собой каждая ордината этих эпюр?

10.  В каком порядке строятся эпюры Q и М?

11.  Почему при построении эпюр Q и М для балки, заделанной одним концом, можно обойтись без определения опорных реакций?

12.  Чему равна поперечная сила в сечениях бруса, в которых изгибающий момент достигает экстремальных значений?

13.  Как меняется поперечная сила в сечении, в котором к балке приложена сосредоточенная внешняя сила, перпендикулярная оси балки?

14.  Как меняется изгибающий момент в сечении, в котором к балке приложен сосредоточенный внешний момент?

15.  В какую сторону обращена выпуклостью эпюра М при распределенной нагрузке, направленной вниз?

16.  Как формулируется гипотеза плоских сечений?

17.  Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены?

18.  По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечном сечении балки при чистом изгибе и как они меняются по высоте балки?

19.  Что такое жесткость сечения при изгибе?

20.  Что называется моментом сопротивления при изгибе и какова его размерность?

21.  По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

22.  Какие перемещения получают поперечные сечения балок при прямом изгибе?

23.  Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются? Сделайте вывод этих уравнений.

24.  Как определяются значения неизвестных начальных параметров?

25.  В каком порядке производится определение углов поворота и прогибов сечений балок методом начальных параметров?

Раздел 8. Сложное сопротивление. Изгиб с кручением

8.1. Общие сведения

К сложному сопротивлению относятся те виды деформаций, при которых в поперечных сечениях стержня одновременно возникают не менее двух внутренних усилий. В общем случае нагружения бруса в поперечных сечениях могут действовать шесть компонентов внутренних сил (), связанных с четырьмя простыми деформациями стержня – растяжением (сжатием), кручением, изгибом и сдвигом. Общее напряженное состояние в любой точке сечения можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности. Проверка же прочности данного стержня должна производится по так называемым приведенным (эквивалентным) напряжениям , определяемых по той или иной теории прочности. Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:

, (8.1)

где - приведенное (расчетное) при сложном напряженном состоянии;

- допускаемое напряжение, определяемое при простом растяжении (сжатии) на образцах из данного материала.

Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от опасного для данного материала напряжения . В качестве опасного напряжения может быть предел текучести для пластичного материала или предел прочности для хрупкого материала и др. Тогда допускаемое напряжение можно найти так

, (8.2)

где n >1 – коэффициент запаса прочности (назначается в зависимости от степени ответственности рассчитываемого изделия).

В сопромате, чаще всего, используются четыре классических теории прочности.

Первая теория прочности (I) – теория наибольших нормальных напряжений – основана на гипотезе о том, что опасное состояние наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение (растяжения или сжатия) достигнет опасного значения. Напомним, что при сложном напряженном состоянии, наибольшее положительное нормальное напряжение обозначается как , а отрицательное - .