Сопротивление материалов (стр. 15 )

П р и м е р 7.1.

Для заданных размеров балки и схемы приложения нагрузок (рис. 7.4), построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов М, подобрать, из условий прочности, двутавр, построить графики прогибов и углов поворотов сечений по длине балки. Проверить выполнение условия жесткости.

Исходные данные:

Р е ш е н и е.

1. Определение опорных реакций.

Направим реакции RA, и RB вверх. Составим уравнение моментов относительно точки А:

.

Отсюда, подставив числовые значения, находим RB:

кН.

Составим уравнение моментов относительно точки В:

.

Откуда, подставив числовые значения, находим RА:

Для проверки правильности определения реакций составляем сумму проекций всех сил на ось y:

Таким образом, реакции определены верно.

Обратим внимание, что реакция RА получилась отрицательной, поэтому, в дальнейшем необходимо изменить на рисунке её направление на обратное (см. рис. 7.5) и считать эту реакцию положительной[1]. С учетом сказанного принимаем RA = 16,12 кН.

2. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Для построения эпюр Q и M используем метод сечений.

Балка имеет шесть участков, поэтому будем рассматривать условие равновесия отсекаемой части балки поочередно на каждом участке. Напомним, что поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса с абсциссой х равна алгебраической сумме проекций на ось y всех внешних сил, приложенных к его отсеченной части.

Изгибающий момент в этом же сечении, равен алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отсеченной части, относительно той точки оси бруса, через которую проходит рассматриваемое сечение (точка С на рисунке 7.5).

При построении эпюр Q и M необходимо соблюдать правила знаков, отражаемые на рис. 7.2,в.

На первом участке для любого сечения х () запишем:

Здесь бесконечно малая величина, позволяющая определить значение момента в сечении, расположенном весьма близко к границе I – го участка. Это необходимо сделать, чтобы при переходе через границу участка обнаружить скачек момента, поскольку в сечении приложен внешний сосредоточенный момент М. Из последнего выражения видно, что не зависит от х, т. е. она постоянная на длине участка, а является линейной функцией х , поэтому на первом участке построить эпюры достаточно просто.

На втором участке (см. рис. 7.5) для любого сечения х () запишем:

Рассмотрим еще один участок – четвертый (см. рис. 7.5) на котором имеется распределенная нагрузка q. Поперечная сила в сечении х от действия только распределенной нагрузки численно равна равнодействующей распределенной нагрузки на длине , т. е. . Изгибающий момент в том же сечении от q равен моменту их равнодействующей , линия действия которой проходит посредине отрезка , т. е. .

С учетом сказанного составим полное уравнение равновесия для отсеченной части при расположении сечения с абсциссой х на четвертом участке ():

Анализ последнего выражения показывает, что поперечная сила линейно зависит от х, поэтому для построения эпюры достаточно найти ее ординаты в двух граничных сечениях: и .

В тоже время, изгибающий момент в пределах длины четвертого участка, изменяется по квадратичному закону, поэтому для построения эпюры следует определить три-четыре её ординаты:

Порядок построения эпюр на других участках выполняется по таким же правилам.

На рисунке 7.6 показаны эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для рассматриваемой балки.

Как видно из рисунка 7.6 наиболее нагруженным является сечение балки в котором приложена сосредоточенная сила . В этом сечении изгибающий момент достигает максимальной величины - 44,47 кН·м.

3. Подбор сечения балки по условию прочности.

Найдем проектировочную величину момента сопротивления сечения балки W из условия прочности (5.2)

По таблице сортамента подбираем двутавр № 24 (рис. 7.7), сечение которого имеет такие основные характеристики: h=24 см, b=11,5 см, S=0,56 см, = 289 см3, а момент инерции Iz = 3460 см4 = 3460·10-8 м4.

Как уже было ранее упомянуто более полную проверку прочности балки в опасном сечении (с учетом касательных напряжений) здесь не рассматриваем.

4. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.

Определения прогибов и углов поворота сечений балки, возникающих при плоском поперечном изгибе, используем метод начальных параметров, описанный выше.

При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы её нагружения рекомендуется соблюдать следующие правила:

1.  Начало координат выбирают, как и ранее, в крайней левой точке рассматриваемой балки и делают его общим для всех участков[2].

2.  Условимся расстояния (абсциссы) до сечений в которых действуют нагрузки обозначать в таком порядке (рис. 7.4): до сечения с сосредоточенным моментом М – буквой а, до сечения в котором приложена сосредоточенная сила Р – буквой b, до сечения в котором начинается распределенная нагрузка интенсивностью – буквой с, до сечения где заканчивается распределенная нагрузка – буквой d. Если на балку действует несколько повторяющихся нагрузок какого либо вида (М, Р или q), то абсциссы до них (например, до Р1, Р2 рис. 7.4) обозначаем теми же буквами с соответствующим индексом - b1, b2, и т. д. Следует учесть, что опорные реакции также должны учитываться как сосредоточенные силы, причем их абсциссы могут обозначаться либо буквами b, либо буквами, принятыми на схематических рисунках (например, для реакции RB рис. 7.4 абсциссу можно обозначить буквой l).

3.  Знаки слагаемых, в формулах (7.5) и (7.6), определяются по правилу назначения знаков при построении эпюр изгибающих моментов от соответствующих силовых факторов (рис. 7.2).

4.  В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сечении x = d, рис. 7.4) ее искусственно продлевают до конца рассматриваемого участка, а для восстановления действительных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления. «Дополнительную» и «компенсирующую» нагрузки будем показывать на чертежах штриховыми линиями (смотри рис.7.8).

5.  Для определения начальных параметров у0 и целесообразно сразу написать уравнение прогибов для крайнего правого участка (в нашем примере участок VI).