Сопротивление материалов (стр. 4 )

. (3.5)

Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется модулем упругости при растяжении (иначе, модулем упругости 1-го рода). Размерность Е такая же, как и у напряжения (МПа). В табл. 3.1 даны значения модуля упругости и коэффициента Пуассона для некоторых материалов.

Подставив в формулу (3.3) значение из закона Гука и значение из формулы (3.2), получим

. (3.6)

Величина называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Следует четко различать понятия деформации и перемещения и не допускать довольно распространенной ошибки, когда абсолютное удлинение стержня или осадку витой пружины называют деформацией. Это – не деформации, а перемещения. Заметим также, что если какой-то участок стержня перемещается, то это вовсе не значит, что он деформируется. Наглядный тому пример показан на рис. 3.3.

Ступенчатый стержень состоит из двух участков: – длиной и – длиной (рис. 3.3,а). Если к ступеньке стержня приложить растягивающее усилие (2Р), то участок стержня будет деформироваться и ступенька вместе со всей частью стержня получит перемещение равное . Причем, если первый участок получит удлинение (т. е. деформируется), то длина второго участка не меняется, т. е. он не деформируется.

Рис. 3.3. Перемещения и деформации при растяжении-сжатии

Таблица 3.1. Модули упругости и коэффициент Пуассона некоторых материалов

Материал	Модуль упругости, МПа	Коэффициент Пуассона
Е	G
Чугун серый, белый	(1,15– 1,60)×105	4,5×104	0,23– 0,27
Ковкий чугун	1,55-105	–	–
Углеродистая сталь	(2,0– 2,1)×105	8,1×104	0,24– 0,28
Легированная сталь	2,1×105	8,1×104	0,25– 0,30
Стальное литье	1,75×105	–	–
Медь прокатная	1,1×105	4,0×104	0,31– 0,34
Медь холоднотянутая	1,3×105	4,9×104	–
Медь, литье	0,84×105	–	–
Фосфористая бронза катаная	1,15×105	4,2×104	0,32– 0,35
Марганцовистая бронза катаная	1,1×105	4,0×104	0,35
Алюминиевая бронза литье	1,05×105	4,2×104	–
Латунь холоднотянутая	(0,91– 0,99)×105	(3,5– 3,7)×104	0,32– 0,42
Корабельная латунь катаная	1,0×105	–	0,36
Алюминий катаный	0,69×105	(2,6– 2,7)×104	0,32– 0,36
Алюминиевая проволока тянутая	0,7×105	–	–
Дюралюминий катаный	0,71 ×105	2,7×104	–
Цинк катаный	0,84×105	3,2×104	0,27
Свинец	0.17×105	0,70×104	0,42
Гранит	0,49×105	–
Известняк	0,42×105	–
Мрамор	0,56×105	–	–
Песчаник	0,18×105	–	–
Каменная кладка из: гранита…………………………. известняка………………………. кирпича……………….………...	(0,09– 0,1)×105	–	–
0,06×105	–	–
(0,027– 0,030)×105	–	–
Бетон при пределе прочности, кгс/см2: 100……………………….. 150……………………….. 200………………………..	(0,196– 0,146)×105
(0,214– 0,164)×105	–	–
(0,232– 0,182)×105	–
Дерево вдоль волокон	(0,10– 0,12)×105	0,055×104	–
То же, поперек волокон	(0,005– 0,01)×105	–	–
Каучук	0,00008×105	–	0,47
Бакелит	(0,02– 0,03)×105	–	–
Текстолит	(0,06– 0,10)×105	–	–
Геттинакс	(0,10– 0,17)×105	–	–
Стекло	0,56×105	2,2×104	0,25
Лед	0,10×105	(0,28– 0,3)×104	–

Перемещение произвольного сечения (рис. 3.3,а) с координатой х (при и ) определяется зависимостью:

. (3.7)

Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня, например и (рис.3.4), равно удлинению (при растяжении) или укорочению (при сжатии) той его части, которая заключена между этими сечениями (т. е. участка длиной с )

. (3.8)

Рис. 3.4. Взаимное перемещение двух сечений

Если продольная сила или сечение стержня , либо обе эти величины одновременно изменяются по длине стержня по какому-либо закону (рис.3.5), то перемещение сечения с координатой х следует определять по формуле

. (3.9)

Рис. 3.5. К определению перемещений при переменном сечении и силе

Площадь поперечного сечения пластины и нормальная сила в сечении, лежащем на расстоянии х могут быть определены по зависимостям:

3.3. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении-сжатии

Найденные значения напряжений в заданном сечении позволяют оценить прочность стержня, если известны допускаемые напряжения для его материала. Условие прочности записывают в таком виде:

. (3.10)

Если известно усилие, действующее в сечении и величина допускаемого напряжения, то можно определить требуемую площадь поперечного сечения:

. (3.11)

При известных площади сечения и допускаемом напряжении, можно определить допускаемое усилие в стержне:

. (3.12)

В некоторых случаях лимитирующим фактором работы стержня (детали) является обеспечение требуемой жесткости. Условие жесткости для стержня, состоящим из нескольких участков имеет следующий вид: