Сопротивление материалов (стр. 9 )

, (4.10)

где - усилие на образце в момент его разрыва;

- площадь поперечного сечения в шейке образца в момент разрыва.

Рис. 4.5. Диаграмма истинных напряжений

Вторая координата точки – относительная деформация включает две составляющие - истинную пластическую - и упругую - . Значение может быть определено из условия равенства объемов материала вблизи места разрыва образца до и после испытания (рис. 4.3). Так до испытания объем материала образца единичной длины будет равен , а после разрыва . Здесь - удлинение образца единичной длины вблизи места разрыва. Поскольку истинная деформация здесь , а , то . Упругую составляющую находим по закону Гука: . Тогда абсцисса точки 5 будет равна

. (4.11)

Проводя плавную кривую между точками 4 и 5, получим полный вид истинной диаграммы.

Для материалов, диаграмма растяжения которых на начальном участке не имеет резко выраженной площадки текучести (см. рис. 4.6 ) предел текучести условно определяют как напряжение, при котором остаточная деформация составляет величину, установленную ГОСТом или техническими условиями. По ГОСТу 1497—84 эта величина остаточной деформации составляет 0,2% измеренной длины образца, а условный предел текучести обозначается символом - .

При испытании образцов на растяжение, кроме характеристик прочности, определяют также характеристики пластичности, к которым относятся относительное удлинение образца после разрыва – , определяемое как отношение приращения длины образца после разрыва ( ) к его первоначальной длине (в %):

(4.12)

и относительное сужение – , рассчитываемое по формуле (в %)

. (4.13)

В этих формулах - начальная расчетная длина и площадь поперечного сечения образца, - соответственно длина расчетной части и минимальная площадь поперечного сечения образца после разрыва.

Контрольные вопросы к 4 разделу.

1.  В каких координатах строится диаграмма растяжения?

2.  Что такое предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности (или временное сопротивление)?

3.  Что такое площадка текучести?

4.  Какие деформации называются упругими, и какие остаточными или пластическими?

5.  Что такое условный предел текучести? Для каких материалов определяется эта механическая характеристика?

6.  В каких координатах строится истинная диаграмма напряжений?

7.  Почему на диаграмме растяжения напряжение, при котором происходит разрушение образца, лежит ниже предела прочности?

8.  Чем отличается диаграмма растяжения пластичной, стали от диаграммы растяжения хрупкой стали?

9.  Что такое остаточное относительное удлинение образца и остаточное относительное сужение шейки образца? Какое свойство материала они характеризуют?

Раздел 5. Геометрические характеристики плоских сечений

При решении ряда задач, связанных с прочностными и деформационными расчётами деталей и элементов конструкций, возникает необходимость определения основных геометрических характеристик их поперечных сечений (ГХС). К ним относятся площади поперечных сечений, статические моменты и моменты инерции.

Эти характеристики достаточно часто используются при расчёте стержней как простых форм сечений (круг, прямоугольник, треугольник и т. п.), так и сложных видов сечений (профильное сечение, составное сечение и др.). Определение ГХС требуется в задачах изгиба, кручения и устойчивости.

Алгоритм расчёта ГХС сложного (составного) вида предусматривает использование двух подходов: традиционного [1, 2, 4-8] (путём разбиения сложного сечения на ряд простых и последующего определения всех необходимых параметров простых фигур), и нетрадиционного, основывающегося на использовании компьютерной техники [3] (задание координат точек контура всего сечения во вспомогательной системе координат с последующим обходом контура). Каждый из этих способов расчёта имеет свои достоинства и недостатки и выбор того или иного из них (или их комбинации) остаётся за расчетчиком.

Рассмотрим вначале методику определения ГХС по первому способу.

Пусть задано произвольное сечение бруса F, связанное с начальными координатными осями и (рис. 5.1). Выделим элемент площади с координатами y, z. По аналогии с выражением для момента силы относительно какой-либо оси можно составить выражение и для момента площади, которое называется статическим моментом площади.

Тогда статические моменты элемента площади относительно осей и будут представлены зависимостями:

Просуммировав такие произведения по всей площади фигуры, получим соответственно статические моменты относительно осей и :

(5.1)

Статические моменты измеряются в мм3, см3, м3.

Осевыми моментами инерции площади называются выражения вида:

(5.2)

Интеграл вида

, (5.3)

называется центробежным моментом инерции площади относительно осей y и z. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Полярный момент инерции определяется по зависимости

. (5.4)

Размерность всех величин в формулах (5.2)…(5.4) мм4, см4, м4.

П р и м е р 5.1. Найти статический момент и момент инерции прямоугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 5.2) относительно собственной центральной оси y и относительно начальной оси y0 , проходящей через основание.

Рис. 5.2. К определению геометрических характеристик прямоугольного сечения

1. Сначала определим статический момент относительно собственной центральной оси y (см. формулы 5.1 и рис. 5.2,а), учитывая, что :

,

т. е. статический момент сечения относительно центральной оси равен нулю.

2. Определим статический момент относительно начальной оси y0 (рис. 5.2,б):

3.  Найдем момент инерции сечения относительно собственной оси y (см. формулы 5.2 и рис. 5.2,а):

.

4.  Найдем момент инерции сечения относительно начальной оси y0 (рис. 5.2,б):

.