Сопротивление материалов (стр. 14 )

Поперечной силой Qх в данном сечении называется сумма проекций всех внешних сил, находящихся по одну сторону от сечения, на нормаль к оси балки (ось y на рис. 7.2,б). Поперечная сила считается положительной, если она стремится повернуть вырезанный из балки бесконечно малый элемент по ходу часовой стрелки. На рис. 7.2,в показано правило знаков для Мх и Qх . Изгибающий момент, поперечная сила и интенсивность распределенной нагрузки связаны между собой следующими зависимостями (по )

(7.1)

Рис.7.2. Схема определения внутренних силовых факторов (а, б) и правила знаков (в)

Эпюры Мх и Qх . Графики изменения по длине балки изгибающих моментов и поперечных сил во всех поперечных сечениях называются эпюрами внутренних усилий. При построении эпюр Мх и Qх исходят из определений внутренних усилий и правил их знаков. Общие правила, облегчающие построение эпюр: если на участке балки нет внешних нагрузок, то эпюры Мх и Qх линейные (причем прямая эпюры Q – параллельна нулевой линии этой эпюры); если на участке действует равномерно распределенная нагрузка q, то эпюра Мх – нелинейная – квадратная парабола. При этом в сечениях, где поперечная сила, изменяясь линейно, меняет знак, изгибающий момент достигает максимума или минимума; точке приложения сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил соответствует «скачок» на величину этой силы, а на эпюре изгибающих моментов – перелом линии; в точках приложения сосредоточенных моментов эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре изгибающих моментов наблюдается «скачок» на величину сосредоточенного момента.

7.2. Подбор сечения балки

Исходя из назначения проектируемой балки, определение необходимых размеров её поперечного сечения производится по двум критериям: 1) - балка должна быть прочной при минимальном весе; 2) - жесткость балки должна быть не ниже заданной.

При расчете по допускаемым напряжениям исходят из условия прочности по нормальным напряжениям

, (7.2)

где - максимальный изгибающий момент;

- момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси;

- допускаемые напряжения для материала балки.

Подбор сечений производят по наиболее напряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины. Из условия прочности (7.2) при заданном изгибающем моменте определяется требуемый момент сопротивления поперечного сечения

, (7.3)

по которому назначаются (или выбираются по сортаменту прокатных сталей) размеры поперечных сечений балки так, чтобы действительный момент сопротивления был бы близок к требуемому.

Условие жесткости можно выразить неравенством

, (7.4)

т. е. максимальный прогиб балки не должен превышать допускаемый .

Допускаемый прогиб (стрела прогиба) зависит от назначения рассчитываемого бруса (балка, вал), а его величину обычно задают в долях от пролета (межопорного расстояния ). Для консолей пролет принимается равным удвоенному вылету консоли .

Так, например, для балок мостовых кранов , а для валов и шпинделей металлорежущих станков (1 мм на длине 1000мм).

Следует заметить, что проектировочные расчеты балок предусматривают выполнение и некоторых других расчетов, например оценка устойчивости стенок балок, определение величины касательных напряжений в сечениях изгибаемых балок и др. В данном конспекте методика выполнения таких расчетов не приводится.

7.3. Определение прогибов балки и углов поворотов сечений.

Под действием внешних сил продольная ось балки искривляется (например, для консольной балки рис. 7.3), а ее поперечные сечения, определяемые расстоянием х, перемещаются. Изогнутую ось балки называют упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается буквой . На рис. 7.3 центр тяжести произвольного сечения, взятого на расстоянии х от начала координат, переместился по вертикали из точки О1 в точку О2 на расстояние О1О2. Это перемещение и является прогибом балки в сечении с абсциссой х. Наибольший прогиб (при) называется стрелой прогиба и обозначается буквой f.

При деформации балки каждое сечение, оставаясь плоским, поворачивается по отношению к своему прежнему положению. Угол , на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Существует несколько методов определения прогибов и углов поворота сечений балки, возникающих при плоском поперечном изгибе. Здесь изложен достаточно простой метод – метод начальных параметров, удобный при использовании компьютерных технологий расчета.

Метод начальных параметров позволяет записать уравнения прогибов и углов поворота заданных сечений, пригодные для всех участков балки, поэтому эти уравнения, называются универсальными, или обобщенными.

Универсальные уравнения (в форме, предложенной профессором ), учитывают все основные типы нагрузок – сосредоточенный момент М, сосредоточенную силу Р, распределенную нагрузку постоянной или переменной интенсивности. Для балки постоянного сечения при действии нагрузок, дающих положительные моменты, уравнение перемещений (прогибов) имеет следующий вид (распределенная нагрузка - постоянна):

(7.5)

Дифференцируя уравнение (7.5), получаем уравнение углов поворота сечений:

(7.6)

Здесь – начальные параметры: у0 – прогиб в начале координат; — угол поворота начального сечения; М0 – изгибающий момент в начальном сечении; – поперечная сила в том же сечении. Отметим, что у0 и – это геометрические факторы, а и – силовые факторы.

Начальные параметры , могут принимать какие угодно значения: положительные, отрицательные и равные нулю. Определяют эти четыре величины, исходя из условия закрепления балки, а также нагружения левого конца, который принят за начало координат.

Знак и др. (прерыватель) показывает, что соответствующее слагаемое нужно учитывать только при x > a, x > b и т. д.. Это означает, что при определении прогиба в каком-либо сечении с абсциссой х в уравнение входят лишь нагрузки, лежащие слева от этого сечения.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров . Статические начальные параметры и находят из условий равновесия балки. Геометрические начальные параметры у0 и определяют из условий на опорах.

При выводе уравнений для конкретного вида изгибаемой балки и схемы её нагружения рекомендуется соблюдать некоторые правила, которые будут изложены при рассмотрении примера.