Сопротивление материалов (стр. 7 )

Определение напряжений и перемещений на втором участке, делается по аналогии с рассмотренным для первого участка.

На рисунке 3.9 приведены все искомые параметры, определенные на основе расчетов.

Как видно из рисунка 3.9 продольная сила в сечениях стержня меняется ступенчато, оставаясь постоянной в пределах длины каждого участка. Однако, напряжения и перемещения при этом, изменяются по гиперболическому закону, что объясняется изменением поперечного сечения стержня по длине.

Абсолютное удлинение стержня определяется перемещением концевого сечения и равно 0,179 мм.

Для получения общих представлений о методике построения эпюр всех видов, целесообразно, также, рассмотреть действие на стержень переменного сечения распределенных сил.

П р и м е р 3.4

Для стального стержня переменного сечения в виде сужающейся полосы (рис 3.10) построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Исходные данные: h1=75 м, h2=200 мм, а = 700 мм, b = 1200 мм, l = 2200 мм. P1 =90 кН. Модуль упругости Е=2 105 МПа.

Интенсивность распределенной нагрузки изменяется по зависимости: , .Примем .

Р е ш е н и е.

Разбиваем стержень на 3 участка (I, II и III). Искомое усилие N(i)x в сечении направляем от сечения, (считая стержень растянутым), если получим знак «-» , то в действительности сила направлена к сечению (стержень сжат).

Участок I ():

Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения, имеет вид

,

где - равнодействующая распределенной нагрузки на длине стержня , которую можно найти, просуммировав элементарные силы , т. е.

. (3.17)

Тогда

Н.

При определении напряжений и перемещений необходимо учитывать, что ширина сечения , изменяется по длине стержня и будет зависеть линейно от абсциссы x. Из геометрических построений получим выражение для ширины и площади сечения Fx в таком виде:

(3.18)

Подставив числовые значения, получим:

 

(3.19)

Напряжения в сечении на расстоянии x определяем по выражению

Из формулы видно, что напряжения в произвольном сечении нелинейно зависят от x, поэтому для построения эпюры напряжений необходимо рассчитать три-четыре ординаты на длине рассматриваемого участка стержня, например,

Для определения перемещений сечений стержня воспользуемся формулой (3.9). Подставив в (3.9) выражение для и проинтегрировав, получим зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:

По полученным значениям ординат строим эпюру на первом участке (см рис. 3.11).

Участок II ():

Условие равновесия правой части стержня, оставшейся после рассечения (рис. 2.9), имеет вид

,

где - равнодействующая распределенной нагрузки на длине стержня , которую можно найти, просуммировав элементарные силы , т. е.

(3.20)

Тогда,

(3.21)

Подставив числовые значения и задавшись тремя значениями х, получим:

По полученным ординатам строим эпюру на втором участке (см. рис. 3.10). Поскольку усилия в характерных точках известны, то достаточно просто определяются, в этих же сечениях, и напряжения, например,

Для определения перемещений сечений стержня на втором участке необходимо учесть перемещение граничного сечения первого сечения . Подставив в (3.9) выражение для , получим зависимость перемещений сечений рассматриваемого участка стержня в виде:

, (3.22).

Для определения конкретных значений следует проинтегрировать выражение (3.22), т. е. получить аналитическое выражение, либо воспользоваться любым способом приближенного вычисления определенного интеграла. Расчеты дают следующие значения :

По полученным ординатам строим эпюру на втором участке (см. рис. 3.11).

Определение необходимых параметров для третьего участка является достаточно простым, поэтому методика их вычисления здесь не рассматривается.

На рисунке 3.11 представлены все эпюры по длине пластины.

Контрольные вопросы к 3 разделу.

Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении бруса? Что такое эпюра продольных сил и как она строится? Какой вид имеет эпюра продольных сил для бруса, нагруженного несколькими осевыми сосредоточенными силами? То же натруженного равномерно распределенной осевой нагрузкой? Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрального растянутого или сжатого бруса и чему они равны? Как строится график (эпюра), показывающий распределение (по длине оси бруса) нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса? Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в наклонных сечениях центрально растянутого или сжатого бруса? Сделайте вывод соответствующих формул.
7. В каких сечениях растянутого бруса возникают нормальные наибольшие напряжения? То же наибольшие касательные? Что называется полной (абсолютной) продольной деформацией? Что такое относительная продольная деформация?
10. Какова размерность абсолютной и относительной продольных деформаций? 11. Что называется - модулем продольной упругости E?, Как влияет величина Е на деформации бруса? Что такое абсолютная и относительная поперечные деформации бруса? Что происходит с поперечными размерами бруса при его растяжении или сжатии? Что такое коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) и какие он имеет значения?

Раздел 4. Испытание материалов на растяжение и сжатие

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы определить требуемые величины (площадь сечения, предельную силу и др.). К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки.

Для решения практических задач необходимо иметь еще числовые характеристики прочностных свойств материалов. При изучении процессов гибки и штамповки нужны числовые показатели, характеризующие способность материала пластически деформироваться. В ряде случаев надо иметь данные о способности материала противостоять действию высоких температур, работать при переменных нагрузках и т. д.